Распределение Ферми — Дирака

Распределение Ферми — Дирака как функция от ε/μ, построенная для 4 различных температур. С ростом температуры ступенька размывается

Статистика Ферми — Дирака в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние может занимать не более одной частицы); определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим уровням системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 г. итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией ε_i есть

$n_i = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1}$

где:

$n_i \$ — среднее число частиц в состоянии i,

$\epsilon_i \$ — энергия состояния i,

$g_i \$ — кратность вырождения состояния i (число состояний с энергией $\epsilon_i \$),

μ — химический потенциал (который равен энергии Ферми $E_F \$ при абсолютном нуле температуры),

k — постоянная Больцмана,

T — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур $\mu = E_F \$. В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными $g_i = 1 \$), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

$F(E) = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-E_F) / k T} + 1}$

Распределение Ферми — Дирака как функция температуры. Заполнение уровней с энергиями ε > μ растёт с увеличением температуры

Применение

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц (N/V) ≥ n_q (где n_q — квантовая концентрация). Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф—Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б—Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы A в состоянии 1 и частицы B в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы B в состоянии 1 и частицы A в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф—Д, и Б—Э приближаются к статистике Максвелла— Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф-Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.

Вывод распределения

Распределение Ферми — Дирака как функция от ε. Высокоэнергетические состояния имеют меньшую вероятность. Или, низкоэнергитические состояния более вероятны

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна $\mathbf{\epsilon}$. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

$Z \;= \sum_s e^{ -( E(s) - \mu N(s) ) / kT}$

где

$E(s) \$ — энергия состояния s,

$N(s) \$ — число частиц, находящихся в состоянии s,

μ — химический потенциал,

s — это индекс, пробегающий все возмножные микросостояния системы.

В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято n частицами, то энергия системы — $n \cdot \epsilon$. Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и тоже физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся s₁ and s₂ соответственно. Видно, что $E(s_1) = \; \epsilon$, $N(s_1) = \; 1$, и $E(s_2) = \; 0$, $N(s_2) = \; 0$. Поэтому функция распределения принимает вид:

$Z = \sum_{i = 1} ^2 e^{ -( E(s_i) - \mu N(s_i) ) / kT} = e^{ -( \epsilon - \mu ) / kT} + 1$.

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии s_α вычисляется по формуле

$P( s_{\alpha} ) = \frac{e^ {-( E(s_{\alpha}) - \mu N(s_{\alpha})} }{Z}$.

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии s₁, вероятность которого

$\bar{n} = P( s_1 ) = \frac{ e^{ -( E(s_1) - \mu N(s_1) ) / kT} }{Z} = \frac{e^{ -( \epsilon - \mu ) / kT}}{e^{ -( \epsilon - \mu)/ kT} + 1} = \frac{1}{e^{ ( \epsilon - \mu)/ kT} + 1}$.

$\bar{n}$ называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры T, $\bar{n}(\epsilon)$ есть вероятность того, что состояние с энергией ε будет занято фермионом. Обратите внимание, что $\bar{n}$ является убывающей функцией от ε. Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Обратите внимание, что энергетический уровень ε имеет вырождение $\; g_{\epsilon}$. Теперь можно произвести простую модификацию:

$\bar{n} = g_{\epsilon} \cdot \frac{1}{e^{ ( \epsilon - \mu)/ kT} + 1}$.

Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией ε.

Для всех температур T, $\bar{n}(\mu) = \frac{1}{2}$. Это означает, что состояния с энергией μ всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполнеными или свободными.

В пределе $T \rightarrow 0$, $\bar{n}$ становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала μ будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала μ будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается E_F, то есть

$E _F = \; \mu(T = 0)$.

Влияние температуры

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми $T_F = \frac{ E _F }{k_B}$, что часто используется, как аппроксимация $\mathbf{\mu}$ ≈ $\; E_F$ . В реальности же:

$\mu = E _F \left[ 1- \frac{\pi ^2}{12} \left(\frac{k_BT}{E _F}\right) ^2 + \frac{\pi^4}{80} \left(\frac{k_BT}{E _F}\right)^4 + \cdots \right]$

Другой вывод

См. также

• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Статистика Максвелла — Больцмана
• Распределение Максвелла
• Закон Видемана — Франца

Ссылки