- Поля Галуа
-
Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
Конечное поле обычно обозначается
или GF(q), где q — число элементов поля.
Простейшим примером конечного поля является
— кольцо вычетов по модулю простого числа.
Содержание
Свойства конечных полей
- Характеристика конечного поля является простым числом.
- Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени:
.
- Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = pn элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена
.
- В каждом поле существует по крайней мере один примитивный элемент α, то есть такой, что
. Любой ненулевой элемент β является некоторой степенью примитивного элемента:
.
- Мультипликативная группа
конечного поля
является циклической группой порядка q − 1. Поэтому, в частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент α, порядок которого равен q − 1, то есть αq − 1 = 1 и
для 0 < i < q − 1.
- Поле
содержит в себе в качестве подполя
тогда и только тогда, когда k является делителем n.
Примеры конечных полей
, где p — простое:
и так далее.
, где
— главный идеал кольца
, порожденный неприводимым многочленом
степени n.
Построение конечных полей
Существует два варианта построения, в зависимости от количества элементов поля, которое необходимо построить:
- Поле содержит p элементов, где p — простое.
- Кольцо
вычетов по модулю n в случае простого n = p не имеет делителей нуля и является полем.
- Элементы
— числа
. Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением по модулю p.
- Поле содержит q = pn элементов, где p — простое, n — натуральное.
- Кольцо
является полем тогда и только тогда, когда многочлен f(x) неприводим над полем
. При этом
, где m = deg(f). Таким образом, для построения поля из q = pn элементов достаточно отыскать многочлен степени n, неприводимый над полем
, и определить
как указано выше.
- Элементами поля
являются все многочлены степени меньшей n с коэффициентами из
. Операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена f(x), то есть результат соответствующей операции — это остаток от деления на f(x) с приведением коэффициентов по модулю p.
Пример построения поля GF(9)
Пусть надо построить поле GF(9) = GF(32). Для этого необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый в
. Такими многочленами являются
x2 + 1 x2 + x + 2 x2 + 2x + 2 2x2 + 2 2x2 + x + 1 2x2 + 2x + 1 Возьмём, например, x2 + 1, тогда искомое поле есть
. Если вместо x2 + 1 взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.
Таблица сложения в GF(9)
+ 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2 0 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2 1 1 2 0 x + 1 x + 2 x 2x + 1 2x + 2 2x 2 2 0 1 x + 2 x x + 1 2x + 2 2x 2x + 1 x x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2 0 1 2 x + 1 x + 1 x + 2 x 2x + 1 2x + 2 2x 1 2 0 x + 2 x + 2 x x + 1 2x + 2 2x 2x + 1 2 0 1 2x 2x 2x + 1 2x + 2 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x + 1 2x + 1 2x + 2 2x 1 2 0 x + 1 x + 2 x 2x + 2 2x + 2 2x 2x + 1 2 0 1 x + 2 x x + 1 Таблица умножения в GF(9)
× 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2 2 0 2 1 2x 2x + 2 2x + 1 x x + 2 x + 1 x 0 x 2x 2 x + 2 2x + 2 1 x + 1 2x + 1 x + 1 0 x + 1 2x + 2 x + 2 2x 1 2x + 1 2 x x + 2 0 x + 2 2x + 1 2x + 2 1 x x + 1 2x 2 2x 0 2x x 1 2x + 1 x + 1 2 2x + 2 x + 2 2x + 1 0 2x + 1 x + 2 x + 1 2 2x 2x + 2 x 1 2x + 2 0 2x + 2 x + 1 2x + 1 x 2 x + 2 1 2x Литература
- Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.