Поля Галуа

Поля Галуа

Конечное поле или поле Галуаполе, состоящее из конечного числа элементов.

Конечное поле обычно обозначается \mathbb{F}_q или GF(q), где q — число элементов поля.

Простейшим примером конечного поля является \mathbb{Z}_pкольцо вычетов по модулю простого числа.

Содержание

Свойства конечных полей

  • Характеристика конечного поля является простым числом.
  • Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: |\mathbb{F}_q|=q=p^n.
  • Для каждого простого числа p и натурального n существует конечное поле из q = pn элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена x^q-x\in\mathbb{F}_p[x].
  • В каждом поле существует по крайней мере один примитивный элемент α, то есть такой, что \alpha^{q-1}=1, \alpha^i \neq 1, i< q-1. Любой ненулевой элемент β является некоторой степенью примитивного элемента: \beta = \alpha^i,\quad i \in \{0,1,...,q-2\}.
  • Мультипликативная группа  \mathbb{F}^*_q конечного поля \mathbb{F}_q является циклической группой порядка q − 1. Поэтому, в частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент α, порядок которого равен q − 1, то есть αq − 1 = 1 и \alpha^i \neq 1 для 0 < i < q − 1.
  • Поле \mathbb{F}_{p^n} содержит в себе в качестве подполя \mathbb{F}_{p^k} тогда и только тогда, когда k является делителем n.

Примеры конечных полей

  • \mathbb{Z}_p, где p — простое: \mathbb{Z}_2,\;\mathbb{Z}_3,\;\mathbb{Z}_5,\;\mathbb{Z}_7 и так далее.
  • \mathrm{GF}(p^n)=\mathbb{Z}_p[x]/\langle f(x)\rangle, где \langle f(x)\rangleглавный идеал кольца \mathbb{Z}_p[x], порожденный неприводимым многочленом f(x)\in\mathbb{Z}_p[x] степени n.

Построение конечных полей

Существует два варианта построения, в зависимости от количества элементов поля, которое необходимо построить:

  • Поле содержит p элементов, где p — простое.
Кольцо \mathbb{Z}_n вычетов по модулю n в случае простого n = p не имеет делителей нуля и является полем.
Элементы \mathbb{Z}_p — числа 0,\;1,\;2,\;\ldots,\;p-1. Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением по модулю p.
  • Поле содержит q = pn элементов, где p — простое, n — натуральное.
Кольцо \mathbb{K}=\mathbb{F}_p[x]/\langle f(x)\rangle является полем тогда и только тогда, когда многочлен f(x) неприводим над полем \mathbb{F}_p. При этом |\mathbb{K}|=p^m, где m = deg(f). Таким образом, для построения поля из q = pn элементов достаточно отыскать многочлен степени n, неприводимый над полем \mathbb{F}_p, и определить \mathbb{K} как указано выше.
Элементами поля \mathbb{K} являются все многочлены степени меньшей n с коэффициентами из \mathbb{F}_p. Операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена f(x), то есть результат соответствующей операции — это остаток от деления на f(x) с приведением коэффициентов по модулю p.

Пример построения поля GF(9)

Пусть надо построить поле GF(9) = GF(32). Для этого необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый в \mathbb{Z}_3. Такими многочленами являются

x2 + 1
x2 + x + 2
x2 + 2x + 2
2x2 + 2
2x2 + x + 1
2x2 + 2x + 1

Возьмём, например, x2 + 1, тогда искомое поле есть \mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle. Если вместо x2 + 1 взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.

Таблица сложения в GF(9)

\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle

+ 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2
0 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2
1 1 2 0 x + 1 x + 2 x 2x + 1 2x + 2 2x
2 2 0 1 x + 2 x x + 1 2x + 2 2x 2x + 1
x x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2 0 1 2
x + 1 x + 1 x + 2 x 2x + 1 2x + 2 2x 1 2 0
x + 2 x + 2 x x + 1 2x + 2 2x 2x + 1 2 0 1
2x 2x 2x + 1 2x + 2 0 1 2 x x + 1 x + 2
2x + 1 2x + 1 2x + 2 2x 1 2 0 x + 1 x + 2 x
2x + 2 2x + 2 2x 2x + 1 2 0 1 x + 2 x x + 1

Таблица умножения в GF(9)

\mathrm{GF}(9)=\mathbb{Z}_3[x]/\langle x^2+1\rangle

× 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 x x + 1 x + 2 2x 2x + 1 2x + 2
2 0 2 1 2x 2x + 2 2x + 1 x x + 2 x + 1
x 0 x 2x 2 x + 2 2x + 2 1 x + 1 2x + 1
x + 1 0 x + 1 2x + 2 x + 2 2x 1 2x + 1 2 x
x + 2 0 x + 2 2x + 1 2x + 2 1 x x + 1 2x 2
2x 0 2x x 1 2x + 1 x + 1 2 2x + 2 x + 2
2x + 1 0 2x + 1 x + 2 x + 1 2 2x 2x + 2 x 1
2x + 2 0 2x + 2 x + 1 2x + 1 x 2 x + 2 1 2x

Литература

  • Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7

См. также


Wikimedia Foundation. 2010.

Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Поля Галуа" в других словарях:

  • Галуа — Галуа, Эварист Портрет Эвариста Галуа. Сделан с натуры, когда ему было пятнадцать лет, нарисован карандашом Эварист Галуа (фр. Évariste Galois; 26 октября 1811, Бур ля Рен, О де Сен, Франция  31 мая …   Википедия

  • ГАЛУА РАСШИРЕНИЕ — поля нормальное и се парабельное расширение поля. Изучение группы автоморфизмов таких расширений относится к Галуа теории …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ТЕОРИЯ — в наиболее общем смысле теория, изучающая те или иные математич. объекты на основе их групп автоморфизмов. Так, напр., возможны Г. т. полей, колец, топологич. пространств и т. п. В более узком смысле под Г. т. понимается Г. т. полей. Возникла эта …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА КОГОМОЛОГИИ — когомологии Галуа группы. Если М абелева группа и группа Галуа расширения , действующая на М, то когомологии Галуа есть группы когомологии определяемые комплексом состоит из всех отображений , a d кограничный оператор (см. Когомологии групп).… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ГРУППА — группа автоморфизмов Галуа расширения L поля k, т. е. группа, состоящая из всех автоморфизмов поля L, оставляющих все элементы подполя k неподвижными. Г. г. обозначается или . Поле инвариантов совпадает с полем k. Если L поле разложения… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ТЕОРИИ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА — задача построения конечного нормального расширения для данного поля kс заданной Галуа группой (см. Галуа теория), а также выяснения условий, обеспечивающих существование или отсутствие такого расширения над полем k. Если kесть поле рациональных… …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ПОЛЕ — конечное поле, поле, число элементов к рого конечно. Г. п. впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 47). Число элементов любого Г. п. есть степень нек рого натурального простого числа , являющегося характеристикой этого поля.… …   Математическая энциклопедия

  • Галуа, Эварист — Эварист Галуа Évariste Galois Портрет Эвариста Галуа. Сделан с натуры, когда ему было пятнадцать лет, нарисован карандашом …   Википедия

  • ГАЛУА ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа Галуа, снабженная топологией Крулля; базис фильтра этой топологии состоит из нормальных делителей конечного индекса. Если конечное расширение Галуа, то топология его группы Галуа дискретна. Если поле L объединение конечных расширений Галуа …   Математическая энциклопедия

  • ГАЛУА ТЕОРИЯ КОЛЕЦ — обобщение результатов теории Галуа полей на случай ассоциативных колец с единицей. Пусть А ассоциативное кольцо с единицей, Н некоторая подгруппа группы всех автоморфизмов кольца А, N подгруппа группы Н, . Тогда подкольцо кольца А. Пусть… …   Математическая энциклопедия

Книги

  • Теория Галуа., Чеботарев Н.Г.. Настоящая монография представляет обзор важнейших результатов, полученных в настоящее время по теории Галуа. Теория Галуа, как отдельный комплекс проблем и методов, выделяется в… Подробнее  Купить за 2523 грн (только Украина)
  • Теория Галуа., Чеботарев Н.Г.. Настоящая монография представляет обзор важнейших результатов, полученных в настоящее время по теории Галуа. Теория Галуа, как отдельный комплекс проблем и методов, выделяется в… Подробнее  Купить за 2243 руб
  • Сочинения. 1936, Галуа Э.. Книга представляет собой собрание переведенных с французского работ известногоматематика Э. Галуа.-За 20 лет жизни Галуа успел сделать открытия, ставящие его на уровень крупнейших математиков… Подробнее  Купить за 1870 руб
Другие книги по запросу «Поля Галуа» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»