- ГАЛУА ПОЛЕ
конечное поле,- поле, число элементов к-рого конечно. Г. п. впервые рассматривалось Э. Галуа (Е. Galois, см. [1], с. 35 - 47).
Число элементов любого Г. п. есть степень
нек-рого натурального простого числа
, являющегося характеристикой этого поля. Для любого натурального простого р и любого натурального псуществует (и единственно, с точностью до изоморфизма) поле из
элементов. Оно обозначается
или
. Поле
содержит в качестве подполя поле
в том и только в том случае, когда тделится на п. В частности, в любом поле
содержится поле
, наз. простым полем характеристики р. Поле
изоморфно полю
классов вычетов кольца целых чисел по простому модулю р. В любом фиксированном алгебраическом замыкании
поля
существует точно одно подполе
для каждого п. Соответствие
является изоморфизмом между решеткой натуральных чисел относительно делимости и решеткой конечных алгебраич. расширений поля
, лежащих в
, относительно включения. Такова же решетка множества конечных алгебраич. расширений любого Г. п., лежащих в его фиксированном алгебраич. замыкании.
Алгебраич. расширение
является простым, т. е. существует примитивный элемент
такой, что
Таким
будет любой корень каждого неприводимого многочлена степени пиз кольца
. Число примитивных элементов расширения
равно
где
- Мёбиуса функция. Аддитивная группа поля
естественным образом наделяется структурой n-мерного векторного пространства над
. В качестве базиса можно взять
. Ненулевые элементы поля
образуют мультипликативную группу
порядка
, т. е. каждый элемент из
является корнем многочлена
Группа
циклическая, ее образующие - первообразные корни из единицы степени
число К-рых равно
где
- Эйлера функция. Каждый первообразный корень из единицы степени
является примитивным элементом расширения
но не наоборот. Точнее, среди
неприводимых унитарных многочленов степени пнад
имеется
таких, корни к-рых будут образующими для
.
Множество элементов поля
в точности совпадает с множеством корней многочлена
в
, т. е.
характеризуется как подполе элементов из
, инвариантных относительно автоморфизма
, наз. автоморфизмом Фробениуса. Если
то расширение
нормально (см. Расширение поля), его Галуа группа
циклическая порядка ml п. В качестве образующей группы
может быть взят автоморфизм т.
Лит.:[1] Галуа Э., Сочинения, пер. с франц., М.-Л., 1936: [2] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976, с. 158-62; [3] Чеботарев Н. Г., основы теории Галуа, М.-Л., 1934, ч. 1, с. 154-62; [4] Бурбаки Н., Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы, пер. с франц., М., 1965, с. 185-203. А. И. Скопин
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.