Колебание функции

Колебание функции на множестве — это абсолютная величина приращения функции на данном множестве.

Колебание функции в точке — это предел колебания функции по базе окрестностей данной точки.

Определение

Величина $\omega(f,E)=\sup_{x_1,x_2\in E}|f(x_1)-f(x_2)|$ называется колебанием функции $f$ на множестве $E$.

Если теперь фиксировать $\delta>0$, то можно определить колебание функции $f$ на множестве $U_{E}^{\delta}(a)$; функция $\omega(f,a,\delta)=\omega\left(f,U_{E}^{\delta}(a)\right)$ является невозрастающей функцией при $\delta\to+0$ и ограниченной снизу, поэтому она

• либо имеет конечный предел при $\delta\to+0$,
• либо для любого $\delta>0$ будет $\omega(f,a)=+\infty$.

Величина $\omega(f,a)\colon =\lim_{\delta\to0+}\omega(f,U_{E}^{\delta}(a))$ называется колебанием функции функции $f$ в точке $a$.

Свойства

• Функция $f\colon E\to\mathbb{R}$ непрерывна в точке $a\in E$, предельной для множества $E$ тогда и только тогда, когда её колебание в данной точке равно нулю:

$f\in C(\{a\}) \Leftrightarrow \omega(f,a)=0$.

• Функция $f\colon E\to\mathbb{R}$ непрерывна на множестве $E$ тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon>0$ существует элемент базы $\mathbb{B}$, колебание на котором будет меньше чем заданное $\varepsilon$:

$f\in C(E) \Leftrightarrow \exists B\in\mathbb{B}\colon\omega(f,B)<\varepsilon$.

См. также

• Модуль непрерывности

Примечания

Ссылки

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.