ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

прямые и обратные теоремы - теоремы и неравенства, устанавливающие связь между дифференциально-разностными свойствами приближаемой функции и величиной (а также поведением) погрешности приближения ее тем или иным методом. Прямые теоремы (п. т.) дают оценку погрешности приближения функции f(t).через ее гладкостные характеристики (наличие производных определенного порядка, модуль непрерывности или модуль гладкости самой функции f или нек-рой ее производной и т. п.). В случае наилучшего приближения полиномами п. т. известны еще как теоремы Джексона [1] и их различные обобщения и уточнения (см. Джексона неравенство, Джексона теорема). Обратные теоремы (о. т.) характеризуют дифференциально-разностные свойства функций в зависимости от скорости убывания к нулю ее наилучших (или каких-либо других) приближений. Задача получения о. т. приближения функций впервые была поставлена, а в нек-рых случаях и решена С. Н. Бернштейном [2]. Сопоставление п. т. и о. т. позволяет иногда полностью охарактеризовать класс функций, имеющих те или иные глад-костные свойства, с помощью последовательности, напр., наилучших приближений.

Наиболее проста связь между п. т. и о. т. в периодич. случае. Пусть - пространство непрерывных на всей оси 2p-периодических функций с нормой

- наилучшее приближение функции f из подпространством Т _п тригонометрич. полиномов порядка п, w(f, d) - модуль непрерывности функции (r=1, 2, . . .) - множество r раз непрерывно дифференцируемых на всей оси функций из . Прямая теорема: если , то

(1) n = 1, 2, ..., r = 0, 1, ..., где константа Мне зависит от n. Более сильное утверждение состоит в том, что можно указать последовательность линейных методов U_n ( п=0,1, . . .), сопоставляющих функции f(t).из полином и таких, что для погрешность оценивается правой частью (1). Обратная теорема утверждает, что для

(2)

где М - абсолютная константа, [1/d] - целая часть числа 1/d, а из сходимости при нек-ром натуральном r ряда

следует, что , причем аналогично (2) можно оценить w(f^(r), 1/n) через E(f, Т _п-1)(n=1,2, ...) (см. [4], [8], [12]). Из этих оценок, в частности, следует, что если

то и f^(r)(t) удовлетворяет при 0<a<1 условию Гёльдера

(3) а при a= 1--условию Зигмунда

(4)

Обозначив этот класс функций через , получают его конструктивную характеристику: тогда и только тогда, когда

2p-периодическая функция бесконечно дифференцируема на всей оси в том и только в том случае, если

для любого r=1, 2, . . . ,

Аналогичные факты имеют место для приближения периодич. функций в метрике , а также для заданных на всей оси (не обязательно периодич.) функций в случае приближения их целыми функциями конечной степени (см. [7], [8]). Известны п. т. и о. т. для , использующие в качестве дифференциально-разностной характеристики модуль гладкости w_k(f, d) порядка k=1,2, ... приближаемой функции (или нек-рой ее производной) (см. [4], [8]).

Иначе обстоит дело в случае приближения на конечном отрезке. Пусть С=С[а, Ь] - пространство непрерывных на [а, Ь]функций с нормой

С ^т=С ^r[ а, b]- множество г раз непрерывно дифференцируемых на [а, b] функций, С ⁰=С, КН ^r+a[ а, b] - класс функций, определяемый неравенствами (3) и (4) при . Для наилучшего приближения

функции подпространством А _n-1 алгебраич. многочленов степени n-1 справедлива оценка вида (1) через модуль непрерывности функции f^(r) на [а, b], однако обращение, аналогичное периодич. случаю (с неравенством вида (2)), здесь возможно лишь на отрезке, лежащем ввутри интервала ( а, b). Напр., если

(5)

то можно лишь утверждать, что f принадлежит классу КH^r+a[a₁, b₁], определяемому неравенствами (3) (при 0<a<1) и (4) (при a=1) лишь на отрезке [ а ₁, b₁](a, b), причем константа Кзависит от a, a₁, b₁ и bи может неограниченно увеличиваться, если , . Существуют функции, не принадлежащие классу КН ^r+a[ а, b], для к-рых, однако,

Напр.,

хотя на [ -1, 1] ни при каком a>¹/₂. Оказалось, что алгебраич. многочлены могут, обеспечивая на всем отрезке [а, b]наилучший порядок приближения функции , у концов отрезка осуществлять приближение существенно лучшее (впервые этот феномен был обнаружен С. М. Никольским, см. [3]). Если, в частности, , то при каждом n>r существует многочлен такой, что

(6)

где константа Мне зависит ни от n, ни от t. Это утверждение, в отличие от (5), уже можно обратить: если для существует последовательность многочленов таких, что при нек-рых r=0, 1, ... и выполнено (6), то . Известны и. т. и о. т. для , использующие модуль непрерывности и модуль гладкости (см. [4], [8]).

П. т., в к-рых даются порядковые оценки погрешности через дифференциально-разностные характеристики приближаемой функции, доказаны для многих конкретных методов приближения (см. [6], [8], [9]), в частности для сплайнов (наилучших и интерполяционных [10]).

Известны п. т. и о. т. для приближения в хаусдорфовой метрике (см. [13]). Здесь возникают свои особенности; в частности, характеризация классов функций через их наилучшие хаусдорфовы приближения связана не только с порядком этого приближения, но и с величиной константы в соответствующем неравенстве. О п. т. и о. т. в многомерном случае см. Приближение функций;случай многих действительных переменных.

Лит.:[l] Jackson D., Ober die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometriscne Summen gegebener Ordnung, Gott., 1911; [2] Бернштейн С. Н., О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени (1912), СоОр. соч. т. 1, М., 1952, с. 11-104; 13] Никольский С. М., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1946, т. 10, № 4, с. 295-317; [4] Дзядык В. К., Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами, М., 1977; [5] Корнейчук Н. П., Экстремальные задачи теории приближения, М., 1976; [6] Тихомиров В. М., Некоторые вопросы теории приближений, М., 1976; 17] Ахиезер Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; [8] Тиман А. Ф., Теория приближения функции действительного переменного, М., 1960; t9] Коровник П. П., Линейные операторы и теория приближений, М., 1959; [ю] Стечкин С. Б., Субботин Ю. Н., Сплайны в вычислительной математике, М., 1976; [1l] Даугавет И. К., Введение в теорию приближения функций, Л., 1977; [12] Стечкин С. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1951, т. 15, М 3, С. 219-42; [13] Сендов Б л., Хаусдорфовые приближения, София, 1979. Н. П. Корнейчук.