- Липшицево отображение
-
Липшицево отображение — отображение
между двумя метрическими пространствами, применение которого увеличивает расстояния не более, чем в некоторую константу раз. А именно, отображение
метрического пространства
в метрическое пространство
называется липшицевым, если найдётся некоторая константа
(константа Липшица этого отображения), такая, что
при любых
. Это условие называют условием Липшица.
Содержание
Связанные определения
- Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также
-липшицевым.
- 1-липшицево отображение называют также коротким отображением.
- Нижняя грань чисел
, удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, называется константой Липшица отображения
.
- Отображение
называется билипшицевым, если у него существует обратное
и оба
и
являются липшицевыми.
- Отображение
называется колипшицевым, если существует константа
, такая, что для любых
и
найдётся
такое, что
Свойства
- Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.
- Теорема Радемахера утверждает, что любая липшицева функция, определённая на открытом множестве в евклидовом пространстве, дифференцируема на нём почти всюду.
- Суперпозиция липшицевой и интегрируемой функции интегрируема.
Вариации и обобщения
- Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так:
История
Отображения со свойством
впервые рассматривалось Липшицем в 1864 году для вещественных функций в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. Впоследствии условием Липшица стало принято называть это условие только при
, а при
— условием Гёльдера.
См. также
Ссылки
Для улучшения этой статьи желательно?: - Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Добавить иллюстрации.
Категории:- Метрическая геометрия
- Математический анализ
- Структуры на многообразиях
Wikimedia Foundation. 2010.