ГЛАДКОСТИ МОДУЛЬ

- модуль непрерывности производной порядка функции , определенной на банаховом пространстве X, т. е. выражение

где . При т = 1 Г. и.- обычный непрерывности модуль функции f(x). Основные свойства Г. м. (для случая - пространство непрерывных функций):

где - постоянные, не зависящие от f.

Нек-рые вопросы теории приближения функций могут получить окончательное решение только в терминах Г. м. порядка . В теории приближения функций важен класс непрерывных периода 2p функций, Г. м. 2-го порядка к-рых удовлетворяет условию

Модуль непрерывности таких функций удовлетворяет условию

, причем постоянная не может быть улучшена (см. [4]).

Лит.:[1] Бернштейн С. Н., Собр. сочинений, т. 1, с. 37, М., 1952; [2] Marchaud A., "J. math, pures et appl.", 1927, t. 6, p. 337-425; [3] Zygmund A., "Duke Math. J.", 1945, v. 12, p. 47-76; [4] Ефимов А. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1957, т. 21, № 2, с. 283-88. А. В. Ефимов.