Монотонность последовательности

Монотонная последовательность — последовательность $\{x_n\}, n\in\mathbb{N}$, удовлетворяющая одному из следующих условий:

1. для любого номера $n=1,2,\ldots$ выполняется неравенство $x_{n+1}\geqslant x_n$ (неубывающая последовательность),
2. для любого номера $n=1,2,\ldots$ выполняется неравенство $x_{n+1}\leqslant x_n$ (невозрастающая последовательность).

Среди монотонных последовательностей выделяются строго монотонные последовательности, удовлетворяющие одному из следующих условий:

1. для любого номера $n=1,2,\ldots$ выполняется неравенство x_{n + 1} > x_n (возрастающая последовательность);
2. для любого номера $n=1,2,\ldots$ выполняется неравенство x_{n + 1} < x_n (убывающая последовательность).

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Некоторые обобщения

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров $n\in\mathbb N$, а лишь для номеров из некоторого диапазона

$I=\{n\in\mathbb N\mid N_{-}\leqslant n&amp;lt;N_{+}\}$

(здесь допускается обращение правой границы N ₊ в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке I, а сам диапазон I называется промежутком монотонности последовательности.

Примеры

• Последовательность Фибоначчи (начальный отрезок которой имеет вид $1,\,\! 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21$) является неубывающей последовательностью натуральных чисел.
• Геометрическая прогрессия с основанием $\,\!1/2$ (начальный отрезок которой имеет вид $1,\,\!1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32$) является (строго) убывающей последовательностью рациональных чисел.
• Последовательность рациональных чисел вида $x_n=\,\!(n-5)^2$ не является монотонной. Тем не менее, она (строго) убывает на отрезке $\{1,\,\!2, 3, 4\}$ и (строго) возрастает на промежутке $\{n\in\mathbb N\mid n\geqslant 5\}$.

См. также

• Монотонная функция