Липшицева функция

Липшицево отображение — отображение $f\colon X\to Y$ между метрическими пространствами X и Y, удовлетворяющее условию

$|f(x)-f(y)|_Y\leqslant L|x-y|_X$

Для некоторой вещественной константы L и всех $x,y\in X$. Здесь $|\dots|_X$ обозначает метрику в пространстве X. Это условие часто называют условием Липшица.

Связанные определения

• Отображение, удовлетворяющее вышеприведённому условию, называется также L-липшицевым.
  • 1-липшицево отображение называют также коротким отображением
• Нижняя грань чисел L, удовлетворяющих вышеприведённому неравенству, назывется константой Липшица отображения f.
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется билипшицевым, если у него существует обратное $f^{-1}\colon Y\to X$ и оба f и f ^{− 1} являются липшицевыми
• Отображение $f\colon X\to Y$ называется колипшицевым, если существует константа L, такая, что для любых $x\in X$ и $y\in Y$ найдётся $x'\in f^{-1}(y)$ такое, что

  $|f(x)\,y|_Y\leqslant L |xx'|_X$

Свойства

• Любое отображение Липшица равномерно непрерывно.

Вариации и обобщения

• Понятие липшицевой функции естественным образом обобщается на функции с ограниченным модулем непрерывности, так как условие Липшица записывается так: $\omega(f,\delta) \leqslant L\delta$.

История

Отображения с со свойством

$|f(x)-f(y)|\leqslant L|x-y|^\alpha,\ \alpha\le 1$

впервые рассматривалось Липшицем в 1864 для вещественных функций, в качестве достаточного условия для сходимости ряда Фурье к своей функции. В последствии условием Липшица стало принято называть это условие только при α = 1, а при α < 1 условием Гёльдера.

См. также

• Показатель Гёльдера