Лапласа оператор


Лапласа оператор

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом \ \Delta. Функции F\ он ставит в соответствие функцию \left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F.

Оператор Лапласа часто обозначается следующим образом \nabla^2, то есть в виде скалярного произведения оператора Набла на себя. Оператор Лапласа эквивалентен также последовательному взятию операций градиента и дивергенции: \Delta=\nabla\cdot\nabla=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}, таким образом значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля \ \operatorname{grad}F в этой точке.

Содержание

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция \ f (x) имеет в окрестности точки \ x_0 непрерывную вторую производную \ f''(x), то, как это следует из формулы Тейлора

\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2), при r\to 0,,
\ f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2), при r\to 0,

вторая производная есть предел

\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.

Eсли, переходя к функции \ F от \ k переменных, поступить таким же образом, т.е. для заданной точки  M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0) рассматривать её \ k -мерную шаровую окрестность \ Q_r радиуса \ r и разность между средним арифметическим

\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

функции \ F на границе \ S_r такой окрестности с площадью границы \ \sigma(S_r) и значением \ F(M_0) в центре этой окрестности \ M_0, то в случае непрерывности вторых частных производных функции \ F в окрестности точки \ M_0 значение лапласиана \ \Delta F в этой точке есть предел

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции \ F, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\}, где \ \omega(Q_r) - объём окресности \ Q_r.

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в [1].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции \ F. Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве q_1,\ q_2,\ q_3:

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
где H_i\ коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой \ r=0:

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта:

 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

или

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
  \left( rf \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.


В случае если \ f=f(r)

 \Delta f =  {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:


\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение, хотя наиболее простой вид последнее принимает с использованием оператора Д'Aламбера (Даламбертиана). Впрочем, последний представляет собой не более, чем оператор Лапласа в пространстве Минковского (формально пространство Минковского можно ввести для любого поля, подчиняющегося волновому уравнению, хотя, конечно, параметр c может быть в каждом конкретном случае своим, например, скорость звука).

В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, пленок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), стационарных задач диффузии и теплопроводности, которые сводятся в непрерывном пределе к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения

См. также


Литература

  1. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968г. 208с.

Внешние ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Смотреть что такое "Лапласа оператор" в других словарях:

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — (лапласиан) простейший эллиптич. дифференц. оператор 2 го порядка действующий на гладкие ф ции f(х 1, . . ., х n), определённые в евклидовом пространстве R с декартовыми координатами х 1 ..., х п (или в нек рой его части G). Л. о. инвариантен… …   Физическая энциклопедия

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — линейный дифференциальный оператор, который функции ?(x, y, z) ставит в соответствие функциюВстречается во многих задачах математической физики (распространение света, тепла, движение идеальной несжимаемой жидкости). Уравнение ???0 называется… …   Большой Энциклопедический словарь

  • Лапласа оператор — линейный дифференциальный оператор, который функции φ(х, у, z) ставит в соответствие функцию . Встречается во многих задачах математической физики (распространение света, тепла; движение идеальной несжимаемой жидкости). Уравнение Δφ = 0… …   Энциклопедический словарь

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — лапласиан, дифференциальный оператор определяемый формулой (здесь координаты в ), а также некоторые его обобщения. Л. о. (1) является простейшим эллиптич. дифференциальным оператором 2 го порядка. Л. о. играет важную роль в математич. анализе,… …   Математическая энциклопедия

  • Лапласа оператор —         лапласиан, дельта оператор, Δ оператор, линейный дифференциальный Оператор, который функции φ(x1, x2,..., xn) от n переменных x1, x2,..., xn ставит в соответствие функцию          Δφ =          В частности, для функции φ(x, y) двух… …   Большая советская энциклопедия

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — линейный дифференц. оператор, к рый ф ции ф(фи) (х, у, z) ставит в соответствие ф цию Встречается во мн. задачах матем. физики (распространение света, тепла; движение идеальной несжимаемой жидкости). Ур ние дельта ф(фи) = 0 наз. Лапласа… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ЛАПЛАСА ОПЕРАТОР — линейный дифференц. оператор, к рый функции и (х. у, г) ставит в соответствие функцию Ур ние дельта u = 0 наз. Лапласа уравнением …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • ЛАПЛАСА УРАВНЕНИЕ — дифференциальное ур ние с частными производными где u(х, у, z) ф ция независимых переменных х, у, z. Названо по имени франц. учёного П. Лапласа, применившего его в работах по тяготению (1782). К Л. у. приводят мн. задачи физики и механики, в к… …   Физическая энциклопедия

  • Оператор набла — (оператор Гамильтона)  векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла) (в Юникоде U+2207, ∇). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах[1] оператор набла определяется следующим образом …   Википедия

  • Оператор (физика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Оператор.     Квантовая механика …   Википедия

Книги



We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.