Параболические координаты

Параболические координаты — ортогональная система координат на плоскости, в которой координатные линии являются конфокальными параболами. Трёхмерный вариант этой системы координат получается при вращении парабол вокруг их оси симметрии.

Параболические координаты нашли многочисленные применения в математической физике, в частности, в теории эффекта Штарка и задаче о потенциале вблизи угла.

Двумерные параболические координаты

Двумерные параболические координаты $(\sigma,\;\tau)$ определяются выражениями

$\left \{ \begin{matrix} x=\sigma\tau \\ y=\frac{1}{2}(\tau^2-\sigma^2) \end{matrix} \right.$

Поверхности постоянной $\sigma$ являются конфокальными параболами

$2y=\frac{x^2}{\sigma^2}-\sigma^2$

расширяющимися вверх (вдоль луча $+y$), а поверхности постоянной $\tau$ — это конфокальные параболы

$2y=-\frac{x^2}{\tau^2}+\tau^2$

расширяющиеся вниз (вдоль луча $-y$). Фокусы всех парабол расположены в начале коорднат.

Дифференциальные характеристики двумерных координат

Коэффициенты Ламэ для параболических координат равны

$H_\sigma=H_\tau=\sqrt{\sigma^2+\tau^2}.$

Таким образом, элемент площади равен

$dS=(\sigma^2+\tau^2)\,d\sigma\,d\tau,$

а лапласиан равен

$\Delta\Phi=\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\sigma^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\tau^2}\right).$

Прочие дифференциальные операторы могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Трёхмерные параболические координаты

Координатные поверхности для трёхмерных параболических координат. Красный параболоид соответствует $\scriptstyle{\tau=2}$, синий параболоид соответствует $\scriptstyle{\sigma=1}$, а жёлтая полуплоскость соответствует $\scriptstyle{\varphi=-60^\circ}$. Три поверхности пересекаются в точке $\scriptstyle{P}$ (отмеченной чёрной сферой), имеющей декартовы координаты приблизительно $\scriptstyle{(1{,}0,\;-1{,}732,\;1{,}5)}$.

На основе двумерных параболических координат строятся два типа трёхмерных координат. Первые получаются простым проектированием на плоскость $XY$ вдоль оси $z$ и называются цилиндрические параболические координаты.

Вторая система координат, также называемая «параболические координаты», строится на основе параболоидов вращения, получаемых вращением парабол вокруг их оси симметрии

$\begin{cases} x=\sigma\tau\cos\varphi, \\ y=\sigma\tau\sin\varphi, \\ z=\dfrac{1}{2}(\tau^2-\sigma^2). \end{cases}$

Ось параболоидов совпадает с осью $z$, так как вокруг неё производится вращение. Азимутальный угол $\varphi$ определяется как

$\mathrm{tg}\,\varphi=\frac{y}{x}.$

Поверхности постоянной $\sigma$ являются конфокальными параболоидами

$2z=\frac{x^2+y^2}{\sigma^2}-\sigma^2$

направленными вверх (вдоль луча $+z$), а поверхности постоянной $\tau$ — это конфокальные параболоиды

$2z=-\frac{x^2+y^2}{\tau^2}+\tau^2$

направленные вниз (вдоль луча $-z$). Фокусы всех параболоидов расположены в начале координат.

Дифференциальные характеристики трёхмерных координат

Коэффициенты Ламэ в трёхмерном случае:

$H_\sigma=\sqrt{\sigma^2+\tau^2},$

$H_\tau=\sqrt{\sigma^2+\tau^2},$

$H_\varphi=\sigma\tau.$

Как видно, коэффициенты $H_\sigma$ и $H_\tau$ совпадают с двумерным случаем. Элемент объёма равен

$dV=h_\sigma h_\tau h_\varphi=\sigma\tau(\sigma^2+\tau^2)\,d\sigma\,d\tau\,d\varphi,$

а лапласиан равен

$\nabla^2\Phi=\frac{1}{\sigma^2+\tau^2}\left[\frac{1}{\sigma}\frac{\partial}{\partial\sigma}\left(\sigma\frac{\partial\Phi}{\partial\sigma} \right)+\frac{1}{\tau}\frac{\partial}{\partial\tau}\left(\tau\frac{\partial\Phi}{\partial\tau}\right)\right]+\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2\Phi}{\partial\varphi^2}.$

Прочие дифференциальные операторы, такие как дивергенция или ротор могут быть аналогично найдены подстановкой коэффициентов Ламэ в соответствующую общую формулу.

Обратные преобразования

Переход от декартовых координат $(x,\;y,\;z)$ к параболическим $(\eta,\;\xi,\;\varphi)$ осуществляется по формулам:

$\begin{cases} \eta=-z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ \xi=z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}, \\ \varphi=\mathrm{arctg}\dfrac{y}{x}, \end{cases}$

при этом $\eta\geqslant 0,\quad\xi\geqslant 0.$

$\begin{vmatrix}d\eta \\ d\xi \\ d\varphi\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & -1+\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} & 1 +\dfrac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \dfrac{-y}{x^2+y^2} & \dfrac{x}{x^2+y^2} & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix}dx \\ dy \\ dz\end{vmatrix}.$

При $\varphi=0$ получаем ограничение координат на плоскость $XZ$:

$\eta=-z+\sqrt{x^2+z^2},$

$\xi=z+\sqrt{x^2+z^2}.$

Линия уровня $\eta=c$:

$z|_{\eta=c}=\frac{x^2}{2c}-\frac{c}{2}.$

Это парабола, фокус которой при любом $c$ расположен в начале координат.

Аналогично при $\xi=c$ получаем

$z|_{\xi=c}=\frac{c}{2}-\frac{x^2}{2c}.$

Координатные параболы пересекаются в точке

$P:\left(\sqrt{bc},\;\frac{b-c}{2}\right).$

Пара парабол пересекается в двух точках, но при $\varphi=0$ точка оказывается заключена в полуплоскости $x>0$, так как $x<0$ соответствует $\varphi=\pi$.

Найдём коэффициенты наклоны касательных к параболам в точке $P$:

$\frac{dz_c}{dx}=\frac{x}{c}=\frac{\sqrt{bc}}{c}=\sqrt{\frac{b}{c}}=s_c,$

$\frac{dz_b}{dx}=-\frac{x}{b}=\frac{-\sqrt{bc}}{b}=-\sqrt{\frac{c}{b}}=s_b;$

$s_c s_b=-\sqrt{\frac{b}{c}}\sqrt{\frac{c}{b}}=-1.$

Так как произведение коэффициентов равно −1, то параболы перпендикулярны в точке пересечения. Таким образом, параболические координаты оказываются ортогональными.

Пара $(\xi;\;\eta)$ определяет координаты в полуплоскости. При изменении $\varphi$ от 0 до $2\pi$ полуплоскость вращается вокруг оси $z$, в качестве координатных поверхностей получются параболоиды вращения и полуплоскости. Пара противоположных параболоидов определяет круг, а величина $\varphi$ определяет полуплоскость, пересекающую круг в единственной точке. Её декартовы координаты равны:

$\begin{cases} x=\sqrt{\xi\eta}\cos\varphi, \\ y=\sqrt{\xi\eta}\sin\varphi, \\ z=\dfrac{1}{2}(\xi-\eta). \end{cases}$

$\begin{vmatrix}dx \\ dy \\ dz\end{vmatrix}= \begin{vmatrix} \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\xi}{\eta}}\cos\varphi & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\eta}{\xi}}\cos\varphi & -\sqrt{\xi\eta}\sin\varphi \\ \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\xi}{\eta}}\sin\varphi & \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{\eta}{\xi}}\sin\varphi & \sqrt{\xi\eta}\cos\varphi \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} d\eta \\ d\xi \\ d\varphi\end{vmatrix}.$

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Parabolic Coordinates (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.