- Признак Ермакова
-
Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей "чувствительностью". Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория сходимости рядов» («Математический Сборник», 1870 г. и «Bullet. des sciences mathém. et astronom.», 2-me série, t. III), «Новый признак сходимости и расходимости бесконечных знакопеременных рядов» («Университетские Известия университета св. Владимира» за 1872).
Содержание
Формулировка
Пусть для функции
выполняется:
(функция принимает только положительные значения)
- функция
монотонно убывает при
Тогда ряд
сходится, если при
выполняется неравенство:
,
где
.
Если же
при
, то ряд расходится.
Доказательство[1]1. Пусть выполняется неравенство:
Домножим обе части этого неравенства на
и проинтегрируем, используя подстановку
:
отсюда
так как
, вычитаемое в последних скобках положительно. Поэтому, разделив неравенство на
, получим:
Прибавив к обеим частям интеграл
, получим
Учитывая, что
, при
Поскольку с возрастанием
и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел при
:
Так как этот интеграл сходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд
также сходится.
2. Пусть теперь имеет место неравенство:
Домножив обе части этого неравенства на
и проинтегрировав, используя в левой части подстановку
, получим:
Прибавим к обеим частям интеграл
Поскольку
, то
. Определим теперь последовательность
следующим образом:
Используя эту последовательность последнее неравенство можно записать в виде:
Суммируем этот интеграл по
то есть этот интеграл неограничен при
. Поэтому:
Так как этот интеграл расходится, то согласно интегральному признаку Коши — Маклорена ряд
также расходится.
Формулировка в предельной форме
Если существует предел:
то при
ряд сходится, а при
— расходится.
Примечания
- ↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
Литература
- Математическая энциклопедия, Т.2, «Ермакова признак»
Признаки сходимости рядов Для знакоположительных
рядовНеобходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак Для знакочередующихся
рядовПризнак Лейбница Для рядов вида Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича Категория:- Признаки сходимости
Wikimedia Foundation. 2010.