СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ

СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ

- понятие теории функций, являющееся конкретным отражением нек-рого инволютивного оператора для соответствующего класса функций.
1) С. ф. к комплекснозначной функции . наз. функцию значения к-рой являются комплексно сопряженными к значениям f.
2) С. ф. к гармонической функции - см. Сопряженные гармонические функции.
3) С. ф. к -периодической суммируемой на функции f(x)наз. функцию


она существует почти всюду и почти всюду совпадает с -суммой, или суммой Абеля - Пуассона сопряженного тригонометрического ряда.
4) С. ф. к функции определенной на векторном пространстве X, находящемся в двойственности (относительно билинейной формы <x,у>) с векторным пространством Y - функция на Y, задаваемая соотношением

Для функции, заданной на Y, сопряженная функция определяется аналогично.

С. ф. к функции одного переменного будет функция

С. ф. к функции в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением будет функция С. ф. к норме в нормированном пространстве будет функция N*(y), равная нулю, если и равная если
Если f - гладкая растущая на бесконечности быстрее линейной функция, то f* - не что иное, как Лежандра преобразование функции f. Для одномерных строго выпуклых функций определение, равносильное (*), было дано У. Юнгом [1], в других терминах. У. Юнг определял С. ф. к функции

где непрерывна и строго возрастает, соотношением

где - функция, обратная к Определение (*) для одномерных функций было впервые предложено С. Мандельбройтом (S. Mandelbrojt), в конечномерном случае - В. Фенхелем [2], в бесконечномерном - Ж. Моро [3] и А. Брёнстедом [4]. Для выпуклой функции н сопряженной с ней выполнено неравенство Юнга

С. ф.- выпуклая замкнутая функция. Оператор сопряжения*: однозначно отображает совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Xна совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Y (теорема Фенхеля - Моро).
Подробнее см. [5] и [6].
См. также Выпуклый анализ, Опорная функция, Двойственность в экстремальных задачах и выпуклом анализе.

Лит.:[1] Joung W. H., лProc. Roy. Soc. A


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ — опорный функционал, множества А, лежащего в векторном пространстве X, функция sA, задаваемая в находящемся с ним в двойственности векторном пространстве Y соотношением Напр., О. ф. единичного тара в нормированном пространстве, рассматриваемом в… …   Математическая энциклопедия

  • ГРИНА ФУНКЦИЯ — функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям.… …   Математическая энциклопедия

  • АНТИГОЛОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ — антианалитическая функция, функция одного или нескольких комплексных переменных комплексно сопряженная к голоморфной функции (см. Аналитическая функция). Е. Д. Соломенцев …   Математическая энциклопедия

  • УПРАВЛЯЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — управление, функция и(t), входящая в дифференциальное уравнение значения к рой в каждый момент времени могут выбираться произвольным образом. Обычно на область изменения u(t)при каждом tналагается ограничение где U заданное замкнутое множество в… …   Математическая энциклопедия

  • КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное отображение, сохраняющее форму бесконечно малых фигур. Основные понятия. Непрерывное отображение w=f(z)области G n мерного евклидова пространства в n мерное евклидово пространство наз. конформным в точке если оно в этой точке обладает …   Математическая энциклопедия

  • ЛЕЖАНДРА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — 1) Преобразование математич. анализа, осуществляющее двойственность между объектами в дуальных пространствах (наряду с проективной двойственностью в аналитич. еометрии и полярной двойственностью в выпуклой геометрии). Пусть гладкая функция,… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА — 1) П. т. о сопряженных функциях: пусть периодическая непрерывная функция с периодом 2p и тригонометрически сопряженная функция с f(t); тогда если f(t).удовлетворяет условию Липшица о показателем при 0<a<1 и имеет модуль непрерывности, не… …   Математическая энциклопедия

  • ДИРИХЛЕ ХАРАКТЕР — (mod k) функция c(п)=c(п; k )на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям: Иными словами, Д. х. (mod k) это арифметич. функции, к рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k. Понятие Д. х. ввел П.… …   Математическая энциклопедия

  • БОКСА ИНТЕГРАЛ — одно из обобщений интеграла Лебега, предложенных А. Данжуа (A. Denjoy, 1919), подробно изученное Т. Дж. Боксом (Т. J. Boks, 1921). Действительная функция f(x).на отрезке [ а, Ь]периодически (с периодом b a) продолжается на всю прямую. Для… …   Математическая энциклопедия

  • БИЛИНЕЙНАЯ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА — двойной интеграл где заданная (вообще говоря, комплексно значная) функция действительных переменных, интегрируемая с квадратом, произвольные (тоже комплекснозначные) функции, интегрируемые с квадратом, а комплексно сопряженная функция с . Если ,… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»