ДИРИХЛЕ ХАРАКТЕР

(mod k) - функция c(п)=c(п; k )на множестве целых чисел, удовлетворяющая условиям:

Иными словами, Д. х. (mod k)- это арифметич. функции, к-рые не равны тождественно нулю, вполне мультипликативны и периодичны с периодом k.

Понятие Д. х. ввел П. Дирихле (P. Dirichlet, см. [1]) в связи с изучением закона распредепения простых чисел в арифметич. прогрессиях. Он же разработал основы теории Д. х. (см. [2] - [8]), исходя из прямого конструктивного построения их.

Пусть - канонич. разложение k, п- целое взаимно простое с k,( п, k)=1; С=С ₀=1, если a=0 или a=1; С=2;

С ₀=2^a-2 если С ₁=j(р ₁^a1)₎ . . .,где j -функция Эйлера. Пусть, далее, g, g₀,g₁ .. ., g_r - система индексов числа ппо mod k, т. е. система наименьших неотрицательных целых чисел, удовлетворяющих сравнениям

где g_j- наименьший первообразный корень по mod р _j^aj ; e, e₀, e₁, . . .,e_r - система каких-либо корней из 1 соответственно порядков С, С ₀, С ₁, . . ., С _r. Функция

определенная на множестве всех натуральных чисел, наз. характером Дирихле (mod к). Перебирая все возможные значения e, e₀, e₁,. . ., e_r получают различных функций c - Д. х. mod к. Характер с e=e₀=e₁=. . .=e_r=1 наз. главным характером; он обозначается c₀^:

Для любых натуральных чисел п, l и k:

если c(п).- Д. х. (mod k), то комплексно сопряженная функция c(п).- также Д. х. (mod k);

Наименьшее из чисел v, удовлетворяющее равенству c^v(n)=c₀(n) наз. степенью Д. х. Для v=l существует один такой характер c₀. Если v=2, то х(п)может принимать лишь значения 1; 0; -1; такие Д. х. наз. действительными, или квадратичными. Если v>3, до Д. х. наз. комплексным. c( ^п) наз. четным или нечетным соответственно тому, будет c(-1)=1 или х(-1)=-1- Главные свойства сумм Д. х. выражаются формулами

где в 1-й формуле ппробегает полную систему вычетов (mod k), а cво 2-й формуле - все j(k) характеров (mod k).

При (l, k)= 1 справедлива формула

наз. свойством ортогональности Д. х. Она является одной из основных формул Д. х., применяемых в разного рода исследованиях арифметич. прогрессий: kv+l,v=0, I, 2, .... В теории и приложениях Д. х. важны также понятия ведущего модуля характера и примитивного характера. Пусть c(n; k) - произвольный неглавный характер (mod k). Если для значений п, удовлетворяющих условию (n, k)=i, число А; является наименьшим периодом c(n; k), то кназ. ведущим, или основным, модулем характера c, а сам характер c - примтивным, или первообразным, характером (mod k). В противном случае существуют единственные число k₁>1, делящее k, k₁<k и примитивный характер c₁ (mod k₁ )такие, что

В этом случае c(п; k )наз. непримитивным, или производным, характером c(mod d)и говорят, что c₁ индуцирует c. Тем самым многие вопросы о характерах сводятся к таковым для примитивных характеров.

Характер c(п; k)является примитивным тогда и только тогда, когда для любого d, делящего k, d<k, существует ас условиями:

В аналитич. теории широко используются суммы Гаусса, определяемые для c(mod k)равенством

Для примитивного характера cmod k;

При этом справедливо разложение c(п)в виде:

Одной из основных проблем в теории Д. х. является проблема оценки сумм Д. х. c(mod k),c неравноc₀:

Имеет место оценка Виноградова:

Установлено [7], что

k- простое число. При M=l, N-k/2 существует (см. [8]) бесконечная последовательность чисел к, являющихся модулями примитивного действительного характера c, для к-poй

у- Эйлера постоянная. Это асимптотич. равенство показывает, что предыдущие оценки, вообще говоря, существенно усилить нельзя. Однако существует гипотеза Виноградова, согласно к-рой для любого е>0,

Доказательство этой гипотезы позволило бы решить ряд крупных проблем теории чисел.

Теория Д. х. лежит в основе теории Дирихле L-функций и является частным случаем общей теории характеров абелевых групп.

Лит.:[1] Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.-Л., 1936; [2] Виноградов И. М., Избр. тр., М., 1952; [3] Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; [4] Прах ар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [5] Чудаков Н. Г., Введение в теорию L-функций Дирихле, М., 1947; [6] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [7] Burgess D. А., "Тр. Матем. ин-та", 1973, х. 132, с. 203-205; [8] Лаврик А. Ф., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1971, т. 35, № 6, с. 1189-207.

А. Ф. Лаврик.