ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА

ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА

- 1) П. т. о сопряженных функциях: пусть


- периодическая непрерывная функция с периодом 2p и


- тригонометрически сопряженная функция с f(t); тогда если f(t).удовлетворяет условию Липшица о показателем при 0<a<1 и имеет модуль непрерывности, не больший Мd In (1/d) при a=1. Эта теорема, доказанная И. И. Приваловым [1], имеет важные применения в теории тригонометрич. рядов. Она переносится и на условия Липшица в нек-рых других метриках (см., напр., [5]).

2) П. т. единственности аналитических функций: если однозначная аналитич. ция f(z) в области Dплоскости комплексного переменного z, ограниченной спрямляемой жордановой кривой Г, на нек-ром множестве положительной меры Лебега на Г имеет нулевые угловые граничные значения, то в D. Эта теорема доказана И. И. Приваловым [2); ее обобщением является Лузина - Привалова теорема;см. также Единственности свойство аналитических функций.

3) П. т. о сингулярном интеграле Кош и, основная лемма Привалова,- один из основных результатов теории интеграла типа Ноши - Стилтьеса (см. Коши интеграл). Пусть Г : z== z(s), ,-спрямляемая (замкнутая) жорданова кривая на плоскости комплексного переменного z, l - длина кривой Г, s - длина дуги на Г, отсчитываемая от нек-рой фиксированной точки; j=j(s) - угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к Г, y(s) - комплексная функция ограниченной вариации на Г. Пусть точка определяется значением s0 длины дуги, и Г d - часть линии Г, оставшаяся после удаления из Г меньшей дуги, концами к-рой являются точки z(s0-d) и z(s0+d). Конечный предел при

(1)

если он существует, наз. сингулярным интегралом Коши - Стилтьеса.

Пусть D+ и D- - соответственно конечная и бесконечная области, ограничиваемые кривой Г. Формулировка П. т.: если для почти всех по мере Лебега на Г точек Г существует сингулярный интеграл (1), то почти всюду на Г существуют угловые граничные значения F+(z). интеграла типа Коши - Стилтьеса

(2)

соответственно из областей D+, причем почти всюду справедливы Сохоцкого формулы:

(3)

Обратно, если почти всюду на Г существуют угловые граничные значения F+(z0).(или F-(z0)).интеграла (2), то почти всюду на Г существуют сингулярный интеграл (1) и граничные значения с другой стороны F-(z0) (соответственно F+(z0)), причем выполняются равенства (3). Эта теорема была установлена И. И. Приваловым для интегралов типа Коши - Лебега (т. е. для случая абсолютно непрерывной функции y(s), см. [2]), а затем и для общего случая [3]. Она играет основную роль в теории сингулярных интегральных уравнений и разрывных граничных задач аналитич. ций (см. [6]). 4) П. т. о граничных значениях интеграла типа Коши - Лебега: если жорданова кривая Г кусочно гладкая и без точек заострения, а комплексная функция , удовлетворяет условию Липшица


то интеграл типа Коши - Лебега


есть непрерывная функция в замкнутой области , причем для граничных значений F+(z) выполняются условия:


если 0<a<1, и


если (см. [2]).

Лит.:[1] Привалов И. И., "Bull. Soc. math. France", 1916, t. 44, p. 100-03; [2] его же, Интеграл Cauchy, Саратов, 1918; [3] его же, Граничные свойства однозначных аналитических функций, М., 1941; [4] его же, Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [5] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., М., 1965; [6] Xведелидзе Б. В., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 7, М., 1975, с. 5-162.

Е. Д. Соломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА" в других словарях:

  • ГОЛУВЕВА - ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА — если f(z) комплексная суммируемая функция на замкнутой спрямляемой жордановой кривой L, расположенной в плоскости комплексного переменного z, то для существования регулярной во внутренней области D, ограниченной кривой L, функции F(z), угловые… …   Математическая энциклопедия

  • ПРИВАЛОВА ОПЕРАТОРЫ — параметры Привалова, операторы, позволяющие выразить условие гармоничности функции без использования частных производных. Пусть и(х) локально интегрируемая функция в конечной области Dевклидова пространства объем шара В(х; h).радиуса hс центром …   Математическая энциклопедия

  • ЛУЗИНА - ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМЫ — в теории функций комплексного переменного классические результаты Н. Н. Лузина и И. И. Привалова, выясняющие характер граничного единственности свойства аналитич. функций (см. [1]). 1) Пусть f(z) мероморфная функция комплексного переменного z в… …   Математическая энциклопедия

  • ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — C(f, z0; S).функции f(x): G Q, определенной в области со значениями на сфере Римана W, в точке по множеству , множество значений , для к рых существуют такие последовательности точек , n=1, 2, . . .; , что Каждое значение …   Математическая энциклопедия

  • ЕДИНСТВЕННОСТИ СВОЙСТВА — аналитических функций свойства аналитич. функций, состоящие в том, что они вполне определяются своими значениями на нек рых подмножествах точек их области определения или границы этой области, в связи с чем различают внутренние Е. с. и граничные… …   Математическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… …   Математическая энциклопедия

  • ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ — свойства аналитич. функций, проявляющиеся при приближении к границе области определения. Можно считать, что понимаемое в самом широком смысле изучение Г. с. а. ф. началось с Сохоцкого теоремы и Пикара теоремы о поведении аналнтич. функций в… …   Математическая энциклопедия

  • КОШИ ИНТЕГРАЛ — 1) К. и. определенный интеграл от непрерывной функции одного действительного переменного. Пусть функция f(x).непрерывна на отрезке наз. определенным интегралом по К о ш и от функции f(x) на отрезке [ а, b]и обозначают К. и. частный случай Римана… …   Математическая энциклопедия

  • Лузин, Николай Николаевич — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Лузин. Николай Николаевич Лузин Дата рождения: 9 декабря 1883(1883 12 09) Место рождения: город Иркутск, Иркутская губерния, Российская империя …   Википедия

  • Лузин, Николай — Николай Николаевич Лузин Дата рождения: 9 декабря 1883 Место рождения: Иркутск, Иркутская губерния, Российская империя Дата смерти: 28 февраля 1950 Место смерти: Москва, РСФСР …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»