- ПРИВАЛОВА ТЕОРЕМА
- 1) П. т. о сопряженных функциях: пусть
- периодическая непрерывная функция с периодом 2p и
- тригонометрически сопряженная функция с f(t); тогда если f(t).удовлетворяет условию Липшица о показателем
при 0<a<1 и
имеет модуль непрерывности, не больший Мd In (1/d) при a=1. Эта теорема, доказанная И. И. Приваловым [1], имеет важные применения в теории тригонометрич. рядов. Она переносится и на условия Липшица в нек-рых других метриках (см., напр., [5]).
2) П. т. единственности аналитических функций: если однозначная аналитич. ция f(z) в области Dплоскости комплексного переменного z, ограниченной спрямляемой жордановой кривой Г, на нек-ром множестве
положительной меры Лебега на Г имеет нулевые угловые граничные значения, то
в D. Эта теорема доказана И. И. Приваловым [2); ее обобщением является Лузина - Привалова теорема;см. также Единственности свойство аналитических функций.
3) П. т. о сингулярном интеграле Кош и, основная лемма Привалова,- один из основных результатов теории интеграла типа Ноши - Стилтьеса (см. Коши интеграл). Пусть Г : z== z(s),
,-спрямляемая (замкнутая) жорданова кривая на плоскости комплексного переменного z, l - длина кривой Г, s - длина дуги на Г, отсчитываемая от нек-рой фиксированной точки; j=j(s) - угол между положительным направлением оси абсцисс и касательной к Г, y(s) - комплексная функция ограниченной вариации на Г. Пусть точка
определяется значением s0 длины дуги,
и Г d - часть линии Г, оставшаяся после удаления из Г меньшей дуги, концами к-рой являются точки z(s0-d) и z(s0+d). Конечный предел при
(1)
если он существует, наз. сингулярным интегралом Коши - Стилтьеса.
Пусть D+ и D- - соответственно конечная и бесконечная области, ограничиваемые кривой Г. Формулировка П. т.: если для почти всех по мере Лебега на Г точек Г существует сингулярный интеграл (1), то почти всюду на Г существуют угловые граничные значения F+(z). интеграла типа Коши - Стилтьеса
(2)
соответственно из областей D+, причем почти всюду справедливы Сохоцкого формулы:
(3)
Обратно, если почти всюду на Г существуют угловые граничные значения F+(z0).(или F-(z0)).интеграла (2), то почти всюду на Г существуют сингулярный интеграл (1) и граничные значения с другой стороны F-(z0) (соответственно F+(z0)), причем выполняются равенства (3). Эта теорема была установлена И. И. Приваловым для интегралов типа Коши - Лебега (т. е. для случая абсолютно непрерывной функции y(s), см. [2]), а затем и для общего случая [3]. Она играет основную роль в теории сингулярных интегральных уравнений и разрывных граничных задач аналитич. ций (см. [6]). 4) П. т. о граничных значениях интеграла типа Коши - Лебега: если жорданова кривая Г кусочно гладкая и без точек заострения, а комплексная функция
, удовлетворяет условию Липшица
то интеграл типа Коши - Лебега
есть непрерывная функция в замкнутой области
, причем для граничных значений F+(z) выполняются условия:
если 0<a<1, и
если
(см. [2]).
Лит.:[1] Привалов И. И., "Bull. Soc. math. France", 1916, t. 44, p. 100-03; [2] его же, Интеграл Cauchy, Саратов, 1918; [3] его же, Граничные свойства однозначных аналитических функций, М., 1941; [4] его же, Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [5] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., М., 1965; [6] Xведелидзе Б. В., в кн.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 7, М., 1975, с. 5-162.
Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.