БОКСА ИНТЕГРАЛ

- одно из обобщений интеграла Лебега, предложенных А. Данжуа (A. Denjoy, 1919), подробно изученное Т. Дж. Боксом (Т. J. Boks, 1921). Действительная функция f(x).на отрезке [ а, Ь]периодически (с периодом b- a) продолжается на всю прямую. Для произвольного разбиения отрезка произвольного набора точек и произвольного tстроится сумма

Если при сходится по мере к определенному пределу I, то число I наз. интегралом Бокса ( В- интегралом) от f(х).по [а, b]. Таким образом, Б. и. есть интеграл риманова типа и является также обобщением интеграла Римана. Б. <и. существенно расширяет интеграл Лебега: всякая суммируемая функция В-интегрируема и эти интегралы совпадают, в то время как существуют несуммируемые B-интегрируемые функции; в частности, если g- сопряженная функция к суммируемой функции f, то она B-интегрируема и коэффициенты ряда, сопряженного к ряду Фурье от f, есть коэффициенты соответствующего ряда Фурье (в смысле B-интегрирования) от g(A, H. Колмогоров). Дальнейшего развития теория Б. и. не получила, т. к. для интегрирования функций, сопряженных к суммируемым, более удобным оказался А-интеграл.

Лит.:[1] Воks T. J., "Rend. Circolo mat. Palermo", 1921, v. 45, p. 211-264; [2] Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965. И. А. Виноградова.