СОПРЯЖЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

к линейному обыкновенному дифференциальному уравнению l(y)=0 - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение где

С ^т (I) - пространство m раз непрерывно дифференцируемых комплекснозначных функций на и

(черта означает операцию комплексного сопряжения). Из определения следует, что

где - скаляр. Сопряженным к уравнению является уравнение l(y)=0. Для любых праз непрерывно дифференцируемых функций у(t)и справедливо тождество Лагранжа:

из к-рого следует формула Грина:

Если y(t), - произвольные решения уравнений l(у)=0и то

Знание линейно независимых решений уравнения позволяет понизить порядок уравнения l(y) ⁼ 0 на . единиц (см. [1] - [3]). Для системы дифференциальных уравнений

с непрерывной комплекснозначной -матрицей A(t), сопряженная система определяется равенством

(см. [1], [4]); здесь A*(t)- эрмитово сопряженная матрица к матрице A(t). Тождество Лагранжа и формула Грина приобретают вид

здесь - скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат). Если x(t), - произвольные решения уравнений L(x) = 0, то

Понятие С. д. у. тесно связано с общим понятием сопряженного оператора. Если, напр., l - линейный дифференциальный оператор, действующий из пространства С ⁿ (I) в пространство С(I)по формуле (1), то сопряженный дифференциальный оператор l* действует из пространства С*(I). сопряженного к С(I), в пространство С*(I), сопряженное к С ⁿ(I). Сужение оператора l* на пространство С ⁿ(I) определяется формулой (2) (см. [5]).
С. д. у. определяется, кроме того, для линейного дифференциального уравнения с частными производными (см. [6], [5]).
Пусть и U_k - линейные и линейно независимые функционалы на пространстве Тогда сопряженная краевая з ад ача к линейной краевой задаче

определяется равенствами

Здесь - линейные функционалы на пространстве описывающие сопряженные краевые условия, т. е. определяемые так, чтобы равенство (см. Грина формулы)

выполнялось для любой пары функций удовлетворяющей условиям U_k(y) =0, K=l,..., т, Если

- линейные формы переменных

то - тоже линейные формы переменных .

Пример. Для задачи

с действительными сопряженная краевая задача имеет вид

Если задача (2) имеет kлинейно независимых решений (в атом случае ранг краевой задачи r=n-k). то задача (3) имеет m-n+k линейно независимых решений (ее ранг r' = 2п- т-k). При т=п задачи (2), (3) имеют одинаковое число линейно независимых решений; поэтому при т=n задача (2) не имеет решений, кроме тривиального, в том и только в том случае, когда этим свойством обладает сопряженная краевая задача (3). Справедлива альтернатива Фредгольма: полуоднородная краевая задача

l(y) = f(t), U_k(y)=0, k = l, ..., п,
имеет решение, если функция f(t)ортогональна ко всем нетривиальным решениям сопряженной краевой задачи (3), т. е.

(см. [1] - [3], [7]). Для задачи о собственных значениях

сопряженной задачей о собственных значениях наз. задача

Если - собственное значение задачи (4), то - собственное значение задачи (5). Собственные функции y(t), отвечающие собственным значениям и задач (4) и (5) соответственно, ортогональны, если (см. [1] - [3]):

Для линейной краевой задачи

где Uесть т-вектор-функционал на пространстве непрерывно дифференцируемых комплексно-значных n-вектор-функций, т<2 п, сопряженная краевая задача определяется равенствами

(см. [1]); здесь U* есть (2 п-m )-вектор-функционал, определяемый так, чтобы равенство

выполнялось для любой пары функции удовлетворяющей условиям

Задачи (0), (7) обладают свойствами, аналогичными перечисленным выше (см. [1]).
Понятие сопряженной краевой задачи тесно связано с понятием сопряженного оператора [5]. Сопряженная краевая задача определяется также для линейной краевой задачи для уравнения с частными производными (см. [6], [7]).

Лит.:[1] Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 5 изд., М., 1976; [2] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, М., 1969; [3] Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958; [4] Хартман Ф., Обыкновенные дифференциальные уравнения, пер. с англ., М., 1970; [5] Данфорд Н., Шварц Д ж. Т., Линейные операторы. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, пер. с англ., ч. 2, М., 1986; [6] Михайлов В. П., Дифференциальные уравнения в частных производных, М., 1976; [7] Владимиров В. С., Уравнения математической физики, Д изд., М., 1981.
Е. Л. Тонков.