УПРАВЛЯЮЩАЯ ФУНКЦИЯ

управление,- функция и(t), входящая в дифференциальное уравнение

значения к-рой в каждый момент времени могут выбираться произвольным образом.
Обычно на область изменения u(t)при каждом tналагается ограничение
где U - заданное замкнутое множество в Управление наз. допустимым, если при каждом tоно удовлетворяет ограничению (2). Различные допустимые управления u(t)определяют соответствующие различные траектории x(t), исходящие из начальной точки x₀. Если задан функционал

и граничные условия на правом конце траектории в момент времени t₁:

где X₁ - нек-рое множество в (в частном случае- точка), то можно поставить вопрос об определении оптимального управления u(t), доставляющего оптимальное значение функционала к задаче (1) - (4). Вопросы, связанные с определением оптимальной У. ф., являются предметом теории оптимального управления и вариационного исчисления (см. [1], [2]).
В отличие от переменных х= (х ¹.... , х ⁿ), называемых фазовыми переменными (или фазовыми координатами), управления u=(u¹, ... , u ^т) входят в уравнение (1) без своих производных. Поэтому (1) имеет смысл не только при непрерывном, но и при кусочно непрерывном (и даже измеримом) управлении u(t). Причем при каждо. <м допустимом кусочно непрерывном управлении u(t)уравнение (1) определяет непрерывную, кусочно гладкую траекторию x(t).
В большинстве практич. задач оптимальное управление существует в классе кусочно непрерывных функций. Однако встречаются задачи, в к-рых оптимальное управление не является кусочно непрерывным, а принадлежит классу измеримых по Лебегу функций. В этих задачах оптимальное управление имеет бесконечное число точек разрыва, сгущающихся к нек-рой точке, напр, к точке входа на особый режим k-го порядка, k>1 (см. Оптимальный режим особый).
Необходимые условия, сформулированные в теории оптимального управления в виде принципа максимума Понтрягина, доказаны для самого общего случая, в к-ром исследуемая на оптимальность У. ф. предполагается измеримой (в частности, она может быть кусочно непрерывной или непрерывной).
Согласно принципу максимума для оптимальности управления u(t)(в случае минимизации функционала (3)) необходимо, чтобы при каждом tуправление u(t)доставляло максимум функции Гамильтона

на множестве U, где - сопряженная вектор-функция, определяемая из сопряженной системы

Аналогом принципа максимума в вариационном исчислении, позволяющим определить лсвободные