- СОПРЯЖЕННАЯ ФУНКЦИЯ
- понятие теории функций, являющееся конкретным отражением нек-рого инволютивного оператора для соответствующего класса функций.
1) С. ф. к комплекснозначной функции . наз. функциюзначения к-рой являются комплексно сопряженными к значениям f.
2) С. ф. к гармонической функции - см. Сопряженные гармонические функции.
3) С. ф. к-периодической суммируемой на
функции f(x)наз. функцию
она существует почти всюду и почти всюду совпадает с-суммой,
или суммой Абеля - Пуассона сопряженного тригонометрического ряда.
4) С. ф. к функцииопределенной на векторном пространстве X, находящемся в двойственности (относительно билинейной формы <x,у>) с векторным пространством Y - функция на Y, задаваемая соотношением
Для функции, заданной на Y, сопряженная функция определяется аналогично.
С. ф. к функции одного переменного
будет функция
С. ф. к функции
в гильбертовом пространстве Xсо скалярным произведением
будет функция
С. ф. к норме
в нормированном пространстве будет функция N*(y), равная нулю, если
и равная
если
Если f - гладкая растущая на бесконечности быстрее линейной функция, то f* - не что иное, как Лежандра преобразование функции f. Для одномерных строго выпуклых функций определение, равносильное (*), было дано У. Юнгом [1], в других терминах. У. Юнг определял С. ф. к функциигде
непрерывна и строго возрастает, соотношением
где
- функция, обратная к
Определение (*) для одномерных функций было впервые предложено С. Мандельбройтом (S. Mandelbrojt), в конечномерном случае - В. Фенхелем [2], в бесконечномерном - Ж. Моро [3] и А. Брёнстедом [4]. Для выпуклой функции н сопряженной с ней выполнено неравенство Юнга
С. ф.- выпуклая замкнутая функция. Оператор сопряжения*:
однозначно отображает совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Xна совокупность собственных выпуклых замкнутых функций на Y (теорема Фенхеля - Моро).
Подробнее см. [5] и [6].
См. также Выпуклый анализ, Опорная функция, Двойственность в экстремальных задачах и выпуклом анализе.Лит.:[1] Joung W. H., лProc. Roy. Soc. A
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.