РЕГУЛЯРНАЯ ПОЛУГРУППА

полугруппа, каждый элемент к-рой регулярен.

Произвольная Р. п. Sсодержит идемпотенты (см. Регулярный элемент), и строение Sв значительной степени определяется "строением" и "расположением" в Sмножества всех ее идемпотентов Е(S). Р. п. с единственным идемпотентом - это в точности группы. На Е(S)прежде всего можно смотреть как на частично упорядоченное множество относительно естественного частичного порядка (см. Идемпотент);известны структурные теоремы, описывающие Р. п. Sснек-рыми естественными ограничениями на множество E(S). Одно из таких ограничений (для полугрупп с нулем) состоит в том, что все ненулевые идемпотенты примитивны (см. Вполне простая полугруппа);полугруппа с этим свойством наз. п р и м и т и в н о й. Следующие условия для полугруппы Sэквивалентны: a) Sесть примитивная Р . п., б) Sесть Р. п., равная объединению своих 0-минимальных (см. Минимальный идеал )правых идеалов, в) Sесть 0 -прямое объединение вполне 0-простых полугрупп. Описано строение Р. п., у к-рых Е(S)есть цепь, упорядоченная по типу отрицательных целых чисел [2].

Более информативный взгляд на Е(S)состоит в рассмотрении на этом множестве частичной операции , заданной следующим образом. Если для е, хотя бы одно из произведений ef, fe равно одному из элементов е, f, то ; полагают тогда Возникающая частичная алгебра может быть охарактеризована аксиомами, использующими два отношения квазипорядка w^r и w^l, тесно связанные с заданной частичной операцией (реализация этих отношений в Е(S)такова: ew^rf означает fe=e, ew^lf означает ef=e;тогда есть отношение естественного частичного порядка на Е(S));такая частичная алгебра наз. биунорядоченным множеством (см. [5]). Произвольная Р. п. может быть определенным образом сконструирована из биупорядоченного множества и групп. Таким образом, в терминах биупорядоченных множеств можно проводить классификацию Р. п. Среди исследованных в этом направлении типов полугрупп - к о м б и н а т о р н ы е Р. п. (см. [7]), т. е. имеющие лишь одноэлементные подгруппы.

Гомоморфный образ Р. п. будет Р. п. Всякий нормальный комплекс Р. п., являющийся подполугруппой, содержит идемпотент. Произвольная конгруэнция на Р. п. однозначно определяется своими классами, содержащими идемпотенты. Конгруэнция на Р. п. Sразделяет идемпотенты тогда и только тогда, когда она содержится в отношении (см. Грина отношения эквивалентности);множество таких конгруэнций составляет модулярную подрешетку с нулем и единицей в решетке всех конгруэнций на S. Р. п. наз. фундаментальной, если эта подрешетка состоит лишь из отношения равенства. Всякая комбинаторная Р. п. будет фундаментальной. Фундаментальные Р. п. важны не только как один из более обозримых типов Р..п., но и в силу определенной "универсальности" их класса для Р. п. А именно, для любого биупорядоченного множества Еможно канонич. образом сконструировать фундаментальную Р. п. Т _Е, для к-рой Ебудет биупорядоченным множеством всех идемпотентов, причем для любой Р. п. Sтакой, что E(S)=E, существует разделяющий идемпотенты гомоморфизм , для к-рого j(S) будет подполугруппой в Т _Е, содержащей Е(о различных конструкциях для T_E см. [3], [5], [8], [10]). Р. п. Sфундаментальна тогда и только тогда, когда гомоморфизм j инъективен.

Если S - Р. п., то подполугруппа , порожденная всеми ее идемпотентами, также будет Р. п. Подполугруппа оказывает существенное влияние на строение S. Р. п. идемпотентно порождена тогда и только тогда, когда таков каждый ее главный фактор [10]. В идемпотентно порожденной Р. п. Sдля произвольного элемента хсуществует представление х= = e₁e₂ . . . е _n, где и при i = = 1, . . ., n-1 (здесь и -отношения эквивалентности Грина) (см. [5]). Последовательность идемпотентов e₁, e₂, . .., е _п суказанным свойством наз. Е - ц е п ь ю. В бипростой идемпотентно порожденной полугруппе любые два идемпотента связаны нек-рой Е- цепью, и если они сравнимы в смысле естественного частичного порядка, то длина такой цепи

Если , т. е. произведение любых двух идемпотентов снова есть идемпотент, то Р. п. Sназ. о р т о д о к с а л ь н о й. Класс ортодоксальных полугрупп содержит, в частности, все инверсные полугруппы. Полугруппа ортодоксальна тогда и только тогда, когда каждый ее главный фактор ортодоксален. Имеются структурные теоремы об ортодоксальных полугруппах (см. [4], [9]).

Отношение естественного частичного порядка на Е(S)может быть продолжено на Р. п. Sследующим образом: , если существуют идемпотенты eи f такие, что . В случае, когда Sинверсна, отношение превращается в отношение естественного частичного порядка, для произвольной Р. п. оно также наз. отношением е с т е с т в е н н о г о ч а с т и чн о г о п о р я д к а. Отношение на Р. п. Sсогласовано с умножением тогда и только тогда, когда для любого идемпотента еподполугруппа eSe инверсна [6]. Р. п., обладающие таким свойством, наз. п с е вд о и н в е р с н ы м и. Более широкий класс составляют п с е в д о о р т о д о к с а л ь н ы е полугруппы (для любого идемпотента еподполугруппа eSe ортодоксальна). Для указанных классов полугрупп использовались также термины "локально инверсная" и "локально ортодоксальная". Р. п. наз. е с т е с т в е нн о й, если множество всех ее групповых элементов (см. Регулярный элемент).есть подполугруппа. Имеются структурные теоремы о псевдоинверсных, псевдоортодоксальных [11] и естественных [12] Р. п.

Многие структурные теоремы о различных типах Р. п. представляют собой (подчас весьма далекие) обобщения и модификации конструкции рисоеской полугруппы матричного типа или суммы прямого спектра групп (см. Клиффордова полугруппа), либо опираются на те или иные представления полугрупп и разложения их в подпрямые произведения (см. [1], [13]). См. также ст. Полугруппа.

Лит.:[1] К л и ф ф о р д. А., П р е с т о н Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [2] М u n n W. D., "Glasgow Math. J.", 1968, v. 9, pt. 1, p. 46-66; [3] С 1 i f f о г d A., "Semigroup Forum", 1975, v. 10, p. 84-92; [4] е г о ж e, "J. pure and appl. algebra", 1976, v. 8, p. 23-50; [5] N a m-b о о r i p a d K. S. S., "Mem. Amer. Math. Soc.", 1979, v. 22, № 224; [6] е г о ж e, "Proc. Edinburgh Math. Soc.", 1980, v. 23, pt 3, p. 249-60; [7] N a m b o o r i p a d K. S. S. S., R a j a n A. R., "Quart. J. Math.", 1978, v. 29, № 116, p. 489-504; [8] G r i 1 1 e t P. A., "Semigroup Forum", 1974, v. 8, p. 177-83; p. 254-65; p. 368 - 73; [9] H a 1 1 T. E., "Pacif. J. Math.", 1971, v. 39, p. 677-86; [10] е г о ж е, "J. Algebra", 1973, v. 24, p. 1-24; [11] M e a k i n J., N a m b о о r i p a d K. S. S., "J. Austral. Math. Soc.", 1980/1981, v. 30, p. 73 - 86; [12] W a r n e R. J., в кн.: Algebraic theory of semigroups, Amst., 1979, p. 685-720; [1.4] L a 1 1 e m e n t G., "Semigroup Forum", 1972, v. 4, p. 95-123. Л. Н. Шеврин.