ИНВЕРСНАЯ ПОЛУГРУППА


ИНВЕРСНАЯ ПОЛУГРУППА

- полугруппа, в к-рой для любого элемента асуществует единственный инверсный к нему элемент а -1 (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть инверсной эквивалентно каждому из следующих: S регулярная полугруппа и любые два ее идемпотента перестановочны (таким образом, множество всех идемпотентов И. п. есть полурешетка, см. Идемпотентов полугруппа);каждый левый и каждый правый главные идеалы полугруппы Sимеют единственный порождающий идемпотент. Всякая группа будет И. п., группы и только они являются И. п. с единственным идемпотентом. Важную роль при изучении И. п. играет следующее отношение остественного частичного порядка на произвольной И. п. S:тогда и только тогда, когда ab-1=aa-1 ( а,). На полурешетке идемпотентов И. п. оно совпадает с естественным частичным порядком этой полурешетки (см. Идемпотент). Полурешетка инверсных полугрупп (см. Связка полугрупп). будет И. п. Сдвиговая оболочка И. п. (см. Сдвиги полугрупп )также будет И. п. [7]. Всякая конгруэнция на И. п. определяется своими классами, содержащими идемпотенты.

Пусть JX- множество всех взаимно однозначных частичных преобразований множества X(включая и "пустое преобразование" - отображение пустого множества на себя). Относительно операции суперпозиции множество JX является И. п., к-рая наз. симметрической И. п. на множестве X. Принципиальное значение имеет следующая теорема Вагнера - Престона: произвольная И. п. Sизоморфно вложима в симметрическую И. п. JS

Теория И. п. представляет собой один из важных и глубоко разработанных разделов теории полугрупп. Изучены представления И. п. взаимно однозначными частичными преобразованиями и матрицами над полем (см. [1]). Исследуются конгруэнции на И. п. Изучаются И. п. с условиями конечности. Выделен целый ряд важных специальных типов И. п. Накладываемые при этом ограничения по большей части либо носят характер простоты в нек-ром смысле (напр., бипростота, см. Простая полугруппа), Либо относятся к полурешетке идемпотентов Е, либо являются комбинациями условий обоих типов. Ограничения на Емогут касаться абстрактных свойств Екак полурешетки (например, Е- цепь специального вида), либо тех или иных относительных свойств Ев полугруппе, в частности поведения Еотносительно нек-рых конгруэнции. На любой И. п. Sсуществует наименьшая конгруэнция sс тем свойством, что S/sесть группа (наименьшая групповая конгруэнция), причем

И. п. наз. с-о бственной, если Есоставляет s-класс. На любой И. п. Sсуществует наибольшая конгруэнция m, разделяющая идемпотенты, причем

и mсодержится в отношении (см. Грина отношения эквивалентности);И. п. наз. фундаментальной, если m совпадает с отношением равенства. Для упомянутых типов И. п. получено немало структурных теорем. При этом во многих случаях описание И. п. осуществляется "по модулю групп": группы выступают в качестве блоков различных конструкций, в к-рых участвуют также полурешетки, гомоморфизмы групп и т. п. Таковы, напр., типичные описания клиффордовых И. п. (см. Клиффордова полугруппа )и вполне О-простых И. п. (см. Брандта полугруппа).

И. п. можно рассматривать и как универсальные алгебры с двумя операциями: бинарной - умножением и унарной - взятием инверсного элемента. Получена классификация моногенных (т. е. порожденных одним элементом) И. п. как таких алгебр [6], [9]. Относительно указанных операций класс всех И. п. является многообразием; он может быть задан, напр., следующей системой тождеств [8]:

Лит.:[1] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [2] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960; [3] Курош А. Г., Общая алгебра. Лекции 1969-1970 учебного года, М., 1974; [4] Вагнер В. В., "Докл. АН СССР", 1952, т. 84, №6, с. 1119-22; [5] Preston G., "J. Lond. Math. 'Soc", 1954, v. 29, № 4, p. 396-403; [6] Глускин Л. М., "Матем. сб.", 1957, т. 41, ЛГ" 1, с. 23-36; [7] Понизовский И. С, "Успехи матем. наук", 1965, т. 20, № 6, с. 147-48; [8] Теория полугрупп и ее приложения, в. 1, Саратов, 1965, с. 286-324; [9] Ершова Т. И., "Матем. зап. Уральского ун-та", 1971, т. 8, № 1, с. 30-33; [10] Munn W. D., в кн.: Semigroups, N.Y.-L., 1969, р. 107-23; [11] О'Саrrоl . L., "J. Algebra", 1976, v. 42, р. 26-40.

Я. Я. Шеврин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНВЕРСНАЯ ПОЛУГРУППА" в других словарях:

  • инверсная полугруппа — apgrąžinis pusgrupis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inverse semigroup vok. inverse Halbgruppe, f rus. инверсная полугруппа, f pranc. semi groupe inverse, m …   Fizikos terminų žodynas

  • ПОЛУГРУППА С УСЛОВИЕМ КОНЕЧНОСТИ — полугруппа, обладающая нек рым свойством q таким, что всякая конечная полугруппа обладает этим свойством (такое свойство q наз. условием конечности). В определении свойства q могут фигурировать элементы полугруппы, ее подполугруппы и т. п.… …   Математическая энциклопедия

  • БИЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа с единицей и с двумя образующими заданная определяющим соотношением . Одна из реализаций Б. п. декартов квадрат , где множество неотрицательных целых чисел относительно операции Б. п. является инверсной полугруппой и как инверсная… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа, каждый элемент к рой регулярен. Произвольная Р. п. Sсодержит идемпотенты (см. Регулярный элемент), и строение Sв значительной степени определяется строением и расположением в Sмножества всех ее идемпотентов Е(S). Р. п. с единственным… …   Математическая энциклопедия

  • КЛИФФОРДОВА ПОЛУГРУППА — вполне регулярная полугрупп а, полугруппа, каждый элемент к рой является групповым, т. е. принадлежит нек рой подгруппе. Элемент полугруппы будет групповым тогда и только тогда, когда он вполне регулярен (см. Регулярный элемент). Свойство… …   Математическая энциклопедия

  • ФИНИТНО АППРОКСИМИРУЕМАЯ ПОЛУГРУППА — резидуально конечная полугруппа, полугруппа, для любых двух различных элементов аи bк рой существует такой ее гомоморфизм j в конечную полугруппу S, что Свойство полугруппы Sбыть Ф. а. п. эквивалентно тому, что . подпрямое произведение конечных… …   Математическая энциклопедия

  • ХАРАКТЕР — полугруппы ненулевой гомоморфизм коммутативной полугруппы Sс единицей в мультипликативную полугруппу комплексных чисел, состоящую из всех чисел с модулем 1 и нуля. Иногда под X. полугруппы понимают ненулевой гомоморфизм в мультипликативную… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ — п о л у г р у п п ы элемент a такой, что а=аха для нек рого элемента х данной полугруппы; если при этом ах=ха, то аназ. в п о л н е р е г у л я р н ы м. Если a Р. э. полугруппы S, то главный правый (левый) идеал в S, порожденный а, порождается… …   Математическая энциклопедия

  • ОБОБЩЕННАЯ ГРУППА — то же, что инверсная полугруппа …   Математическая энциклопедия

  • apgrąžinis pusgrupis — statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. inverse semigroup vok. inverse Halbgruppe, f rus. инверсная полугруппа, f pranc. semi groupe inverse, m …   Fizikos terminų žodynas


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.