РИСОВСКАЯ ПОЛУГРУППА МАТРИЧНОГО ТИПА

- теоретико-полугрупповая конструкция, определяемая следующим образом. Пусть S - произвольная полугруппа, и -(индексные) множества, -матрица над S, т. <е. отображение декартова произведения в S. На множестве определяется операция посредством формулы

Тогда Мпревращается в полугруппу, к-рая наз. Р. п. м. т. над полугруппой Sи обозначается ; матрица Рназ. с э н д в и ч - м а т р и ц е й полугруппы . Если Sесть полугруппа с нулем 0, то есть идеал в и факторполугруппа Риса M/Z (см. Полугруппа).обозначается ; в случае, когда S=G⁰ есть группа G⁰ с присоединенным нулем, вместо пишут и называют эту полугруппу Р. п. м. т. над группой с присоединенным нулем G⁰. Для полугрупп и группа Gназ. с т р у к т у р н о й г р у п п о й.

Другое представление Р. п. м. т. над полугруппой Sс нулем и - сэндвич-матрицей Росуществляется следующим образом. - матрица над Sназ. матрицей Р и с а, если она содержит не более одного ненулевого элемента. Через обозначается матрица Риса над S, у к-рой в i-й строке и l-м столбце стоит а, а на остальных местах - нули. На множестве всех

-матриц Риса над Sзадается операция:

(*)

где в правой части - "обычное" матричное умножение. Относительно этой операции указанное множество образует полугруппу. Отображение является изоморфизмом этой полугруппы на полугруппу ; обозначение применяется для обеих этих полугрупп. Формула (*) объясняет термин "сэндвич-матрица" для Р. Если G - группа, то полугруппа будет регулярной тогда и только тогда, когда каждая строка и каждый столбец матрицы Рсодержит ненулевой элемент; всякая полугруппа вполне проста, всякая регулярная полугруппа вполне 0-проста. Обращение последних двух утверждений составляет основное содержание т е о р е м ы Р и с а [1]: всякая вполне простая (вполне 0-простая) полугруппа изоморфно представима Р. п. м. т. над группой (регулярной Р. п. м. т. над группой с присоединенным нулем). Если , и изоморфны, то группы G и G' изоморфны, I и I' равномощны, и равномощны; необходимые и достаточные условия изоморфизма полугрупп и хорошо известны и наряду с только что приведенными условиями включают вполне определенную связь между сэндвич-матрицами Р и Р' (см. [1] - [3]). В частности, любая вполне 0-простая полугруппа изоморфно представима Р. п. м. т., у сэндвич-матрицы Рк-рой каждый элемент в данной строке и данном столбце равен либо 0, либо единице структурной группы; такая сэндвич-матрица наз. н о р м а л и з о в а н н о й. Аналогичные свойства выполняются для вполне простых полугрупп.

Лит.:[1] R e e s D., "Proc. Camb. Phil. Soc"., 1940, v. 36, p. 387-400; [2]К л и ф ф о р д А., П р е с т о н Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1, М., 1972; [3] Л я п и н Е. С., Полугруппы, М., 1960. Л. Н. Шеврин.