КЛИФФОРДОВА ПОЛУГРУППА


КЛИФФОРДОВА ПОЛУГРУППА

вполне регулярная полугрупп а,- полугруппа, каждый элемент к-рой является групповым, т. е. принадлежит нек-рой подгруппе. Элемент полугруппы будет групповым тогда и только тогда, когда он вполне регулярен (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть К. п. эквивалентно каждому из следующих: 1) для любого имеет место 2) каждый односторонний идеал Iиз Sизолирован, т. е. из того, что следует при любом натуральном п.

К. п. наряду с инверсными полугруппами представляют собой один из важнейших типов регулярных полугрупп. Их изучение началось с основополагающей работы А. Клиффорда [1]. Произвольная К. п. обладает (единственным) разбиением на группы, классы к-рого суть в точности -классы (см. Грина отношения эквивалентности). Указанное разбиение не всегда будет связкой (см. Связка полугрупп);условия, когда это так, известны (см. [3]). Отношения Грина и на К. п. совпадают. Всякая вполне простая полугруппа будет К. п., причем для К. п. свойство быть вполне простой эквивалентно идеальной простоте (см. Простая полугруппа). Произвольная К. п. Sразлагается в полуструктуру вполне простых полугрупп, это разложение единственно, его компоненты суть в точности -классы, а соответствующая факторполуструктура изоморфна полуструктуре главных идеалов полугруппы S;обратно, всякая полугруппа, разложимая в полуструктуру вполне простых полугрупп, есть К. п.

Для К. п. Sследующие условия эквивалентны: 1) Sинверсна; 2) каждый идемпотент из Sлежит в центре, т. е. перестановочен с любым элементом из S;3) каждый односторонний идеал полугруппы Sявляется двусторонним; 4) отношения Грина и на Sсовпадают; 5) Sесть полуструктура групп; 6) Sразложима в подпрямое произведение групп и групп с присоединенным нулем.

Указанное выше разложение произвольной К. п. в полуструктуру вполне простых полугрупп определяет ее "грубое строение". Закон перемножения элементов в компонентах этого разложения описывает теорема Риса (см. Вполне простая полугруппа). Дальнейшее изучение К. п. в значительной степени направлено на выяснение "тонкого строения", т. е. закона перемножения элементов из различных компонент. В случае, когда эти компоненты - группы, т. е. для инверсных К. п., известно следующее конструктивное описание в терминах так наз. суммы прямого спектра групп. Пусть - семейство попарно непересекающихся групп, А- полуструктура (см. Идемпотентов полугруппа )и каждой паре элементов таких, что поставлен в соответствие гомоморфизм причем ja, a для любого а есть тождественный автоморфизм и для любых имеет место ja, b Хjb, g=ja, g . На объединении зада-, ется умножение Х, а именно, аХb=аХja, abbja, ab для любых и

Тогда Sпревращается в инверсную К. л. Обратно, каждая инверсная К. п. может быть получена указанным способом.

В общем случае проблема "тонкого строения" К. п. чрезвычайно усложняется, и удовлетворительного ее решепия пока (1978) нет. Некоторые весьма сложные конструкции, описывающие К. п. в терминах вполне простых полугрупп, их сдвиговых оболочек, полуструктур, отображений со специальными свойствами, приведены в [5]. Больший прогресс достигнут в случае ортодоксальных К. п. (см. Регулярная полугруппа);такие полугруппы наз. ортогруппами. Для них имеется несколько обозримых, хотя и довольно громоздких конструкций (см. [2]). Все упомянутые конструкции так или иначе обобщают приведенное выше описание инверсных К. п., полученное в [1].

Лит.:[1] Clifford A., "Ann. Math.", 1941, V. 42, № 4, p. 1037-49; [2] его же, "J. Pure and Appl. Algebra", 1976, v. 8, № 1, p. 23-50; [3] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [4] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960; [5] Реtriсh M., "Trans. Amer. Math. Soc", 1974, v. 189, p. 211-36.

Л. Н. Шеврин.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "КЛИФФОРДОВА ПОЛУГРУППА" в других словарях:

  • ИНВЕРСНАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа, в к рой для любого элемента асуществует единственный инверсный к нему элемент а 1 (см. Регулярный элемент). Свойство полугруппы Sбыть инверсной эквивалентно каждому из следующих: S регулярная полугруппа и любые два ее идемпотента… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа, каждый элемент к рой регулярен. Произвольная Р. п. Sсодержит идемпотенты (см. Регулярный элемент), и строение Sв значительной степени определяется строением и расположением в Sмножества всех ее идемпотентов Е(S). Р. п. с единственным… …   Математическая энциклопедия

  • ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНАЯ ПОЛУГРУППА — то же, что клиффордова полугруппа …   Математическая энциклопедия

  • СЕПАРАТИВНАЯ ПОЛУГРУППА — полугруппа, в к рой для любых элементов х, у из х 2=ху=у2. следует х=у. Если полугруппа Sобладает разбиением на подполугруппы, удовлетворяющие закону сокращения, то Sбудет С. п. Для коммутативных полугрупп верно и обратное; более того, всякая… …   Математическая энциклопедия

  • СВЯЗКА ПОЛУГРУПП — данного семейства {Sa} полугруппа S, обладающая разбиением на подполугруппы, классы к рого суть в точности полугруппы Sa, и для любых Sa,Sb существует Sg такая, что . В этом случае говорят также, что S разложима в связку полугрупп Sa.. Другими… …   Математическая энциклопедия

  • ХАРАКТЕР — полугруппы ненулевой гомоморфизм коммутативной полугруппы Sс единицей в мультипликативную полугруппу комплексных чисел, состоящую из всех чисел с модулем 1 и нуля. Иногда под X. полугруппы понимают ненулевой гомоморфизм в мультипликативную… …   Математическая энциклопедия

  • РЕГУЛЯРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ — п о л у г р у п п ы элемент a такой, что а=аха для нек рого элемента х данной полугруппы; если при этом ах=ха, то аназ. в п о л н е р е г у л я р н ы м. Если a Р. э. полугруппы S, то главный правый (левый) идеал в S, порожденный а, порождается… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.