ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПОЛУГРУППА

всякая подполугруппа симметрич. полугруппы T_W, где T_W- совокупность всех преобразований множества W. Частным случаем П. п. являются преобразований группы.

П. п. наз. подобными, если существуют биекции и такие, что при имеет место (yu) (ja)=jb. Подобные П. п. изоморфны, но обратное, вообще говоря, неверно. Однако в пределах нек-рых классов П. п. из изоморфизма вытекает подобие. Таков, напр., класс П. п., включающих все такие преобразования и, что uWсостоит из одного элемента. Задание полугруппы как П. п. несет большую информацию, чем ее задание с точностью до изоморфизма.

Принципиально важно выделение свойств П. п., инвариантных относительно изоморфизмов. Для нек-рого класса П. п. Г условие, при к-ром полугруппа Sизоморфна нек-рой полугруппе из Г, наз. абстрактной характеристикой класса Г. Найдены абстрактные характеристики для нек-рых важных П. п. Всякая полугруппа изоморфна нек-рой П. п. Полугруппа Sтогда и только тогда изоморфна нек-рой симметрич. полугруппе Т _W, когда она является максимальным плотным идеальным расширением (см. Расширение полугруппы) какой-либо полугруппы Ас тождеством ху=х.

Из общей теории П. п. выделяется направление, при к-ром преобразуемое множество W наделено нек-рой структурой (топологией, действием, отношением в W и т. п.), и рассматриваются П. п., связанные с этой структурой (эндоморфизмы, непрерывные или линейные преобразования, сдвиги полугрупп и т. д.). Изучение соотношений между свойствами структуры в W и свойствами полугруппы соответствующих преобразований является обобщением теории Галуа. В частности, известны случаи, когда указанная П. п. вполне определяет структуру (см., напр., Эндоморфизмов полугруппа). Свойства левых и правых сдвигов полугрупп используются в общей теории полугрупп.

Обобщением понятия преобразования является частичное преобразование, отображающее какое-либо подмножество в W. Бинарное отношение на множестве W. иногда трактуют как многозначное (вообще говоря, частичное) преобразование этого множества. Рассматриваемые относительно операции суперпозиции (определяемой как умножение бинарных отношений) однозначные и многозначные частичные преобразования также образуют полугруппы. Целесообразно рассматривать их как полугруппы, наделенные дополнительными структурами (напр., отношением включения бинарных отношений, включения или равенства областей определения, включения или равенства образов и т. д.).

Лит.:[1] Ляпин B.C., Полугруппы, М., 1960; [2] Клиффорд А. X., Престон Г. Б., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; 13]Глускин Л. М., "Матем. сб.", 1961, т. 55, №4, с. 421 - 48; [4] Schein В. М., "Semigroup Forum", 1970, v. 1, № 1, p. 1-02.

Л. М. Глускин, Е. С. Ляпин.