ПОЛУГРУППА

- множество с одной бинарной операцией, удовлетворяющей закону ассоциативности. Понятие П. есть обобщение понятия группы:из аксиом группы остается лишь одна - ассоциативность; этим объясняется и термин "П.". П. называют иногда моноидами, но последний термин употребляется чаще всего для П. с сигнатурной единицей (т. е. с нульарной операцией, отмечающей единицу).

Теория П. принадлежит к числу сравнительно молодых областей алгебры. Первые исследования, посвященные П., относятся к 20-м гг. 20 в. и связаны с именем А. К. Сушкевича. Он, в частности, определил строение ядра (наименьшего идеала) конечной П., т. е. фактически строение конечной П. без собственных идеалов. Этот результат позднее был обобщен Д. Рисом (D. Rees) на произвольные вполне простые полугруппы и усовершенствован посредством введения понятия матрицы над группой (см. Рисовская полугруппа матричного типа). Теорема Риса, к-рую можно считать нек-рым аналогом теоремы Веддерберна о простых алгебрах, принадлежит к числу основных фактов теории П. Другие ранние исследования по теории П. принадлежат А. Клиффорду (A. Clifford), одним из первых значительных достижений к-рого было введение и изучение П., покрываемых группами; эти П. наз. теперь вполне регулярными, или клиффордовыми полугруппами. К кон. 50-х гг. 20 в. теория П. сформировалась в самостоятельную ветвь современной алгебры с богатой проблематикой, разнообразными методами и тесными связями с многими областями математики как собственно алгебраическими (в первую очередь, с теорией групп и теорией колец), так и другими, напр. функциональным анализом (П. операторов в банаховых пространствах), дифференциальной геометрией (П. частичных преобразований), алгебраич. теорией автоматов (П. автоматов).

Примеры П. чрезвычайно многочисленны. Это - различные множества чисел вместе с операцией сложения или умножения, замкнутые относительно рассматриваемой операции, П. матриц относительно умножения, П. функций относительно "поточечного" умножения *, задаваемого формулой (f* g)(x)=f(x) g(x), П. множеств относительно операции пересечения или объединения и т. д. В общей теории и нек-рых приложениях важен следующий пример П. Пусть X - произвольное множество. На множестве F_X всех конечных последовательностей элементов из Xопределяется операция, задаваемая формулой

Тогда F_X относительно операции * является П.; она наз. свободной П. на множестве X. Всякая П. есть гомоморфный образ нек-рой свободной.

Всякая совокупность преобразований произвольного множества М, замкнутая относительно операции композиции (последовательного выполнения, наз. также суперпозицией), будет П. относительно этой операции; такова, в частности, совокупность всех преобразований множества М, наз. симметрической полугруппой на множестве М. Многие важные совокупности преобразований оказываются П., причем часто они не являются группами. С другой стороны, всякая П. изоморфна нек-рой П. преобразований. Таким образом, именно понятие П. оказывается наиболее подходящим для изучения в самом общем виде преобразований, и в большой степени через рассмотрение преобразований осуществляются связи теории П. с другими областями математики. При этом очень часто П. возникают как П. эндоморфизмов (см. Эндоморфизмов полугруппа).тех или иных рассматриваемых систем: пространств, алгебр, графов и т. д. К П. приводит также рассмотрение частичных преобразований и бинарных отношений относительно операции умножения.

Как и в других алгебраич. теориях, одной из главных задач теории П. является классификация всевозможных П., описание их строения. Это осуществляется прежде всего наложением на рассматриваемые П. различных ограничений и выделением тем самым различных типов П. Ограничения могут иметь разную природу. П. может удовлетворять фиксированной системе тождеств (типичные примеры - коммутативные П., П. идемпотентов) или другим условиям, выражаемым формулой узкого исчисления предикатов (примеры - П. с законом сокращения, регулярные П.). Закон сокращения и регулярность представляют собой примеры ограничений, носящих так или иначе характер ослабления свойств группы; введение подобных условий было, пожалуй, особенно популярно на первых порах развития теории П. (среди выделенных здесь типов, наиболее близких к группам, - правые группы). Во многих случаях, впрочем, возникающие на этом пути классы П. включают в себя П., весьма далекие по своим свойствам от групп (типичный пример - П. идемпотентов).

Понятие регулярной полугруппы возникло по аналогии с понятием регулярного кольца. Класс регулярных П. принадлежит к числу наиболее интенсивно изучаемых в теории П. Он включает в себя следующие важные классы полугрупп: мультипликативные П. регулярных колец (и, в частности, П. всех матриц данного порядка над телом), симметрические П., П. всех частичных преобразований множеств, инверсные П., клиффордовы П. и, в частности, П. идемпотентов и вполне простые П., вполне 0-простые П. и др.

Другой тип распространенных ограничений - ограничения на систему всех или нек-рых подполугрупп, в частности идеалов, а также нек-рых отношений на

П., а частности конгруэнции. Так возникают, напр., разнообразные типы простых полугрупп и разнообразные условия конечности (см. Полугруппа с условием конечности, Периодическая полугруппа, Локально конечная полугруппа, финитно аппроксимируемая полугруппа, Минимальный идеал),II. с разными типами идеальных рядов и идеальных систем (см. Идеальный ряд, Нилъполугруппа};принципиальную роль в исследовании многих вопросов теории П. играют Грина отношения эквивалентности.

Ограничения могут относиться к порождающим множествам и выделять их типы либо с точки зрения характера порождающих элементов (напр., идемпотенты; всякая П. вложима в идемпотентно порожденную П.) или их числа (конечно порожденные П. существенно участвуют во многих исследованиях), либо с точки зрения взаимодействия порождающих элементов - изучаются П., заданные определяющими соотношениями и, в частности, конечно определенные П. (см. Алгоритмическая проблема, Полугруппа с условием конечности), либо с объединенной точки зрения (см. напр., Бициклическая полугруппа).

При изучении строения П. важную роль играют различные конструкции, сводящие описание рассматриваемых П. к тем или иным "более хорошим" типам. Довольно часто в качестве последних выступают группы, и принцип описания "по модулю групп" распространен в теоретико-полугрупповых исследованиях, он проявился еще в упоминавшейся классич. теореме Риса, согласно к-рой всякая вполне 0-простая (вполне простая) П. изоморфна регулярной рисовской П. матричного типа над группой с нулем (группой). Группы участвуют в конструкциях, описывающих инверсные П., и в конструкциях, описывающих коммутативные архимедовы полугруппы с законом сокращения и без идемпотентов. Описание П. с многими условиями конечности сводится к группам с соответствующими условиями.

Среди конструкций, участвующих в описании П., имеются как общеалгебраические, напр. прямые произведения, подпрямые произведения, так и специфически теоретико-полугрупповые. К последним относятся уже упоминавшиеся рисовские П., а также ряд других, из к-рых следует упомянуть конструкцию связки - такого разбиения на подполугруппы, что соответствующее отношение эквивалентности есть конгруэнция. Среди связок особую роль играют коммутативные связки (или полурешетки) и матричные (прямоугольные) связки (см. Связка полугрупп). В терминах связок описываются многие типы П. Так, теорема Клиффорда о вполне регулярных П. означает, по существу, что яти П. исчерпываются полурешетками вполне простых П.; вполне простые П. - это в точности прямоугольные связки групп; теорема Тамуры - Кимуры утверждает, что любая коммутативная П. единственным образом разложима в связку архимедовых П. (см. [3]).

Как и всюду в алгебре, существенную роль в теории П. играет понятие гомоморфизма и, соответственно, понятие конгруэнции. П. принадлежат к числу универсальных алгебр, конгруэнции к-рых не определяются однозначно нек-рым своим каноническим смежным классом ("ядром") подобно тому, как это, напр., имеет место в группах и кольцах. Эта более сложная ситуация привела к развитию довольно обширного направления теории П., посвященного изучению конгруэнций П. с различных точек зрения. Решаемые здесь задачи делятся в основном на два вида: 1) выделяются те или иные специальные типы конгруэнции на произвольных П.; 2) описываются все конгруэнции на тех или иных специальных П., принадлежащих важным в каком-то отношении классам П. К первому виду относится, в частности, рассмотрение главных конгруэнций (см. [3]), а также идеальных, или рисовских, конгруэнций, сопоставляемых каждому двустороннему идеалу (если I - идеал полугруппы S, то соответствующая рисовская конгруэнция имеет своими классами I и одноэлементные подмножества {х}, где ), к-рые часто используются в различных вопросах и объясняют важность рассмотрения идеалов; факторполугруппу по рисовской конгруэнции наз. фактор полугруппой Риса по соответствующему идеалу. Из решенных задач второго вида следует отметить описание конгруэнции на симметрических П., на вполне 0-простых П.; весьма далеко продвинуто изучение конгруэнций на инверсных П.; изучение радикалов П. развивается не без влияния аналогичного раздела теории колец. Рассмотрение гомоморфизмов П. в П. с заданными "хорошими" свойствами способствовало формированию направления, занимающегося аппроксимацией (см. Сепаративная полугруппа, Финитно аппроксимируемая полугруппа).

В исследованиях, связанных с рассмотрением подполугрупп, выделяется самостоятельное направление, посвященное изучению решеточных свойств П., т. е. взаимосвязей между свойствами П. и свойствами решеток их подполугрупп (см. Решетка подалгебр).

Широкое направление теории П. посвящено изучению различных вложений П. Истоки этого направления восходят к классич. проблеме вложения полугрупп в группы. О нек-рых задачах и результатах этого направления см. в ст. Расширение полугруппы.

Интенсивно развивается теория многообразий П.; об исследованиях в этом направлении см. в ст. Полугрупп многообразие. Начинает развиваться теория квазимногообразий П. (см. Алгебраических систем квазимногообразие).и нек-рых других классов П., близких в том или ином смысле к многообразиям.

Связи общей теории П. с конкретными П. осуществляются многими путями. Решаются проблемы абстрактной характеризации тех или иных важных конкретных П. (напр., П. преобразований: известно, в частности, несколько характеризации симметрических П.), описываются различные их абстрактные свойства. О нек-рых основных результатах, касающихся П. преобразований, см. Преобразований полугруппа. Изучаются изоморфизмы и гомоморфизмы абстрактных П. в различные конкретные П., прежде всего П. преобразований и II. матриц (см. Представление полугруппы). Исследованием гомоморфизмов П. в нек-рые числовые П., прежде всего в мультипликативную П. комплексных чисел, занимается теория характеров полугрупп.

К специальным разделам теории П. приводит рассмотрение П. с дополнительными структурами, согласованными с операцией умножения. Здесь следует, в первую очередь, отметить структуру топологич. пространстве (см. Топологическая полугруппа).и структуру порядка, частичного или линейного (см. Упорядоченная полугруппа).

Развивается и теория нек-рых видов обобщенных II. В первую очередь это алгебры с одной n-арной операцией, подчиненной обобщенному ассоциативному закону (их наз. n-ассоциативами, или п- полугруппами). Рассматриваются также алгебры с одной частичной ассоциативной бинарной операцией (одна из естественных ситуаций подобного рода возникает в теории категорий).

Лит.:[1] Суткевич А. К., Теория обобщенных групп, Хар.-К., 1937; [2] Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960: [3] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [41 Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп, пер. с англ., М., 1975; [5] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. сангл., М., 1965; [6] Итоги науки. Алгебра. Топология. 1962, М., 1963, с. 33-58; [7] Итоги науки. Алгебра. 1964, М., 1966, с. 164-202; [8] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1966, М., 1968, с. 9-56; [9] Semigroups, N.Y.- L., 1969; [10] Ноwie J., An introduction to semigroup theory, L.-N.Y.-S.F., 1976; [11] Petrich M., Introduction to semigroups, Columbus, 1973; [12] его же, Lectures in semigroups, В., 1977; [13] Redei L., The theory of finitely generated commutative semigroups, Oxf.-[a.o.], 1965; [14] Hofmann К. Н., Mоstert P. S., Elements of compact semigroups, Columbus, 1966; [15] Lalleinent G., Semigroups and combinatorial applications, N.Y.-[a.o.], 1979; [16] Eilenberg S., Automata, languages and machines, N.Y.-S.F.-L., v. .A, 1974; v. В., 1976. Л. Н. Шеврин.