ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА ФУНКЦИЯ

ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА ФУНКЦИЯ

в области Dкомплексной плоскости - мероморфная функцияв облавти D, представимая в Dв виде отношения двух ограниченных аналитич. ций:

Наиболее изучен класс О. в. ф. в единичном круге . Для того чтобы мероморфная в D функция , необходимо и достаточно, чтобы

ее характеристика Т(r; f) была ограниченной (теорема Неванлинны):

Здесь сумма в правой части составлена по всем полюсам функции f(z) таким, что причем каждый полюс берется столько раз, каков его порядок; - порядок полюса в начале координат. Поэтому О. в. ф. класса наз. также функциями с ограниченной характеристикой.

Представляет интерес также следующее достаточное условие: если мероморфная функция в не принимает множества значений Еположительной емкости,cap Функции f (z) класса обладают следующими свойствами: 1) почти всюду на единичной окружности функция имеет угловые граничные значения , причем

2) если на множестве точек Г положительной меры, то ; 3) функции характеризуются интегральным представлением вида

где - целое число такое, что - действительное число;

Бляшке произведения, составленные по всем нулям и полюсам функции внутри с учетом их кратности; - сингулярная функция ограниченной вариации на с производной, равной нулю почти всюду.

Важное значение имеет также подкласс класса , состоящий из всех голоморфных О. в. ф. f(z)в . Для того чтобы голоморфная функция необходимо и достаточно, чтобы выполнялось вытекающее из (2) условие

Для функций в характеристич. представлении (3)

Условие (4) равносильно требованию, чтобы суб-гармонич. функция имела гармонич. мажоранту во всем круге . В такой форме это условие употребляется обычно для определения класса голоморфных функций в произвольных областях

тогда и только тогда, когда имеет гармонич. мажоранту во всей области D.

Пусть функция реализует конформное универсальное накрывающее отображение это - однозначная аналитич. ция в , автоморфная относительно соответствующей области группы Gдробно-линейных отображений круга на себя. Для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы суперпозиция была автоморфной относительно Gи . Если область Dконечносвязная и ее граница спрямляемая, то угловые граничные значения функции существуют почти всюду на , причем суммируем по гармонич. мере на (подробнее см. обзор [4]).

Пусть теперь - голоморфная функция многих переменных в единичном поликруге - остов поликруга . Класс функций с ограниченной характеристикой определяют условием, обобщающим условие (4):

где - нормированная мера Хаара на . Голоморфная функция класса почти всюду на по мере Хаара т n имеет радиальные граничные значения причем суммируем на . Оставляя для О. в. ф. в первоначальное определение (1), получают, что О. в. ф. f(z) является функцией с ограниченной характеристикой, . Однако при имеются функции , заведомо не представимые в виде отношения двух ограниченных голоморфных функций (см. [5]).

Лищ.:[1] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1988; [3] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [4] Итоги науки. Математический анализ. 1963, М., 1965, с. 5-80; [5] Рудин У., Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974.

Е. Д. Соломенцев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Полезное


Смотреть что такое "ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА ФУНКЦИЯ" в других словарях:

  • ШВАРЦА ФУНКЦИЯ — функция Римана Шварца, аналитич. ция, реализующая конформное отображение треугольника, ограниченного дугами окружностей, на верхнюю полуплоскость (или на единичный круг) и при неограниченном аналитич. родолжении остающаяся однозначной. Ш. ф.… …   Математическая энциклопедия

  • ГРАНИЧНЫЕ СВОЙСТВА АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ — свойства аналитич. функций, проявляющиеся при приближении к границе области определения. Можно считать, что понимаемое в самом широком смысле изучение Г. с. а. ф. началось с Сохоцкого теоремы и Пикара теоремы о поведении аналнтич. функций в… …   Математическая энциклопедия

  • ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО — C(f, z0; S).функции f(x): G Q, определенной в области со значениями на сфере Римана W, в точке по множеству , множество значений , для к рых существуют такие последовательности точек , n=1, 2, . . .; , что Каждое значение …   Математическая энциклопедия

  • БЛЯШКЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, — Бляшке функция, регулярная аналитич. функция комплексного переменного z, определенная в единичном круге в виде конечного пли бесконечного произведения где n целое неотрицательное число, последовательность точек такая, что произведение в правой… …   Математическая энциклопедия

  • ЕДИНСТВЕННОСТИ СВОЙСТВА — аналитических функций свойства аналитич. функций, состоящие в том, что они вполне определяются своими значениями на нек рых подмножествах точек их области определения или границы этой области, в связи с чем различают внутренние Е. с. и граничные… …   Математическая энциклопедия

  • ЖЮЛИА ТЕОРЕМА — если а изолированная существенно особая точка аналитич. функции f(z)комплексного переменного г, то существует по крайней мере один выходящий из алуч S={z;arg(z а) = q0} такой, что в любом угле симметричном относительно этого луча, функция f(z)… …   Математическая энциклопедия

  • ХАРДИ КЛАССЫ — Hp, р> 0, классы аналитич. в круге D={|z|< 1} функций f(z), для к рых где нормированная мера Лебега на окружности это равносильно условию существования у субгармонич. функции |f(z)|p гaрмонич. мажоранты в D. К X. к. причисляют также класс… …   Математическая энциклопедия

  • ФАТУ ТЕОРЕМА — в теории функций комплексного переменного: 1) Пусть гармонич. функция , представит в единичном круге интегралом Пуассона Стилтьеса где борелевская мера, сосредоточенная на единичной окружности , Тогда почти всюду по мере Лебега на Тфункция… …   Математическая энциклопедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • Традиционный рукопашный бой — «Традиционный рукопашный бой» или как его ещё называют «русская рукопашка»  национальный вид спорта, основанный на практике знаковых самобытных форм физической культуры, исторически сложившихся и имевших повсеместное распространение в зоне… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»