- ОГРАНИЧЕННОГО ВИДА ФУНКЦИЯ
в области Dкомплексной плоскости
- мероморфная функция
в облавти D, представимая в Dв виде отношения двух ограниченных аналитич. ций:
Наиболее изучен класс
О. в. ф. в единичном круге
. Для того чтобы мероморфная в D функция
, необходимо и достаточно, чтобы
ее характеристика Т(r; f) была ограниченной (теорема Неванлинны):
Здесь сумма в правой части составлена по всем полюсам
функции f(z) таким, что
причем каждый полюс берется столько раз, каков его порядок;
- порядок полюса в начале координат. Поэтому О. в. ф. класса
наз. также функциями с ограниченной характеристикой.
Представляет интерес также следующее достаточное условие: если мероморфная функция
в
не принимает множества значений Еположительной емкости,cap
Функции f (z) класса
обладают следующими свойствами: 1) почти всюду на единичной окружности
функция
имеет угловые граничные значения
, причем
2) если
на множестве точек Г положительной меры, то
; 3) функции
характеризуются интегральным представлением вида
где
- целое число такое, что
- действительное число;
Бляшке произведения, составленные по всем нулям
и полюсам
функции
внутри
с учетом их кратности;
- сингулярная функция ограниченной вариации на
с производной, равной нулю почти всюду.
Важное значение имеет также подкласс
класса
, состоящий из всех голоморфных О. в. ф. f(z)в
. Для того чтобы голоморфная функция
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось вытекающее из (2) условие
Для функций
в характеристич. представлении (3)
Условие (4) равносильно требованию, чтобы суб-гармонич. функция
имела гармонич. мажоранту во всем круге
. В такой форме это условие употребляется обычно для определения класса
голоморфных функций
в произвольных областях
тогда и только тогда, когда
имеет гармонич. мажоранту во всей области D.
Пусть функция
реализует конформное универсальное накрывающее отображение
это - однозначная аналитич. ция в
, автоморфная относительно соответствующей области
группы Gдробно-линейных отображений круга
на себя. Для того чтобы
, необходимо и достаточно, чтобы суперпозиция
была автоморфной относительно Gи
. Если область Dконечносвязная и ее граница
спрямляемая, то угловые граничные значения
функции
существуют почти всюду на
, причем
суммируем по гармонич. мере на
(подробнее см. обзор [4]).
Пусть теперь
- голоморфная функция многих переменных в единичном поликруге
- остов поликруга
. Класс
функций с ограниченной характеристикой определяют условием, обобщающим условие (4):
где
- нормированная мера Хаара на
. Голоморфная функция
класса
почти всюду на
по мере Хаара т n имеет радиальные граничные значения
причем
суммируем на
. Оставляя для О. в. ф. в
первоначальное определение (1), получают, что О. в. ф. f(z) является функцией с ограниченной характеристикой,
. Однако при
имеются функции
, заведомо не представимые в виде отношения двух ограниченных голоморфных функций (см. [5]).
Лищ.:[1] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1988; [3] Привалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [4] Итоги науки. Математический анализ. 1963, М., 1965, с. 5-80; [5] Рудин У., Теория функций в поликруге, пер. с англ., М., 1974.
Е. Д. Соломенцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.