БЛЯШКЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ,

Бляшке функция,- регулярная аналитич. функция комплексного переменного z, определенная в единичном круге в виде конечного пли бесконечного произведения

где n - целое неотрицательное число, - последовательность точек такая, что произведение в правой части (*) сходится (условие сходимости необходимо лишь в случае бесконечного произведения). В. п. было введено В. Бляшке [1], установившим следующее утверждение: последовательность точек определяет функцию вида (*) тогда и только тогда, когда сходится ряд Каждый множитель вида

наз. множителем Бляшке для , осуществляет однолистное конформное отображение круга Кна себя, переводящее точку в нуль, с нормировкой Множители вида можно интерпретировать как множители Бляшке, соответствующие нулю и нормировке . Определение множителей Бляшке и Б. <п. легко переносится на круг произвольного радиуса, а также на любую одно-связную область, конформно эквивалентную кругу.

Последовательность (здесь n нулей), обычно выписываемая в порядке неубывания , является последовательностью всех нулей Б. п. (*) (каждый нуль выписывается столько раз, какова его кратность). Таким образом, сформулированное выше утверждение Бляшке описывает те последовательности, к-рые являются последовательностями нулей всевозможных Б. п. Произведение (*) можно рассматривать как простейшую ограниченную голоморфную в круге Кфункцию, имеющую заданную последовательность нулей. Оно сходится абсолютно и равномерно внутри К, представляет в круге Кограниченную голоморфную функцию, почти всюду имеет угловые граничные значения, но модулю равные 1. Для того чтобы ограниченная голоморфная функция была Б. п., необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

С помощью Б. <п. удается дать факторизационное описание важных классов голоморфных функций в единичном круге K. Так, доказана следующая теорема Бляшке: последовательность точек круга Кявляется последовательностью всех нулей некоторой ограниченной голоморфной в Кфункции тогда и только тогда, когда ряд сходится. При этом представима в виде произведения где - Б. <п., построенное по нулям функции , а - отличная от нуля голоморфная в Кфункция, , допускающая сравнительно простое интегральное представление. Кроме ограниченных функций, аналогичное факторизационное описание строится для ограниченного вида функций, Харди классов (см. [2] -[4]).

Изложенная теория получила существенное обобщение в работах М. М. Джрбашяна (см. [5], [6]), построившего бесконечные произведения более общей природы, пригодные для факторизации гораздо более широких классов мероморфных функций. Решена также задача построения аналогов Б. и. и теоремы Бляшке для двусвязных [7] и, вообще, конечносвязных [8] областей. Решение проблемы построения удобных аналогов Б. <п. для голоморфных функций многих комплексных переменных чрезвычайно затруднено тем обстоятельством, что нули таких функций не могут быть изолированными.

Лит.:[l] Btaschke W., "Ber. Verhandl Sachsisch. Akad Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. Kl". 1915, Bd 67, S. 194-200; [2] Пpивалов И. И., Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л., 1950; [3] Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941; [4] Коллингвуд Э., Ловатер Д ж., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [5] Джрбашян М. М., Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области, М., 1966; [6] его же, "Успехи матем. наук", 1973, т. 28, в. 4 (172), с. 3-14; [7] Касьянюк С. А., "Матем. сб.", 1957, т. 42 (84), №3, с. 301-26; [8] Тамразов П. М., "Докл. АН СССР", 1965, т. 161, № 2, с. 308-11.

П. М. Тамразов.