- ФАТУ ТЕОРЕМА
в теории функций комплексного переменного: 1) Пусть гармонич. функция
, представит в единичном круге
интегралом Пуассона - Стилтьеса
где- борелевская мера, сосредоточенная на единичной окружности
,
Тогда почти всюду по мере Лебега на Тфункция и(z)имеет угловые граничные значения.
Эта Ф. <т. обобщается для гармонич. функций и(х),
представимых интегралом Пуассона - Стилтьеса в областях Ляпунова
(см. [2], [3]). О Ф. <т. для радиальных граничных значений кратногармония, функций и(z)в поликруге
см. [4], [5].
2) Еели f(z) - ограниченная аналитич. ция в U, то почти всюду по мере Лебега на Тона имеет угловые граничные значения.
Эта Ф. т. обобщается для ограниченного вида функций (см. [6]). Точкив к-рых существует угловое граничное значение
наз. точками Фату. Относительно обобщений Ф. т. для аналитич. ций f(z) многих комплексных переменных z=(z1, . . .. zn),
см. [7]; оказывается, что при
существуют граничные значения и по комплексным касательным направлениям.
3) Если коэффициенты степенного рядас единичным кругом сходимости Uстремятся к нулю,
то этот ряд равномерно сходится на каждой дуге
окружности Т, состоящей только из регулярных граничных точек для суммы ряда. Если
и ряд равномерно сходится на дуге
то отсюда не следует, что точки этой дуги регулярные для суммы ряда.
Теоремы 1), 2), 3) были доказаны П. Фату [1].Лит.:[1] Fatоu P., лActa math.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.