- ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВО
- пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS )и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типа DFS. Пространство типа DFS есть индуктивный предел компактной последовательности банаховых пространств и его сопряженное есть пространство типа FS. Пространства типов FS и DFS- полные, сепарабельные, рефлексивные и монтелевские. В пространствах типов FS n DFS слабая и сильная сходимости совпадают.
Примеры пространств основных и обобщенных функций.
1) Пространства S и S'. Пространство основных (быстро убывающих) функций
состоит из 
-функций, убывающих на бесконечности вместе со всеми производными быстрее любой степени 
. Это пространство есть проективный предел последовательности банаховых пространств Sp , p=0, 1, . . ., состоящих из 
-функций, с нормой
причем вложение
компактно; Sтипа FS.Сопряженное пространство
(пространство обобщенных функций медленного роста) есть индуктивный предел последовательности банаховых пространств 
причем вложение 
компактно, так что 
тина DFS. Из (слабой) сходимости последовательности обобщенных функций в S следует сходимость по норме функционалов в нек-ром S'p. В пространствах 
и 
операция преобразования Фурье есть изоморфизм.2) Пространства
и 
(О - открытое множество в 
). Пространство основных функций состоит из финитных в О 
-функций (см. Обобщенной функции носитель). Оно снабжается топологией строгого индуктивного предела (возрастающей) последовательности пространств 
типа 
, где 
- строго возрастающая последовательность открытых множеств, исчерпывающая 
Пространство 
есть проективный предел (убывающей) последовательности банаховых пространств 
состоящих из 
функций с носителем в 
, с нормой 
причем вложение 
компактно. Пусть 
- пространство, (сильно) сопряженное с D(О); 
. Последовательность основных функций из 
сходится в 
, если она сходится в каком-либо пространстве 
. Последовательность обобщенных функций из D' (О)сходится в D' (О), если она сходится на каждом элементе из D(О)(слабая сходимость). Для того чтобы линейный функционал на D(О)был обобщенной функцией из D' (О), необходимо и достаточно, чтобы для любого открытого множества 
существовали числа Ки ттакие, что 
Пространство
- (слабо) полное: если последовательность обобщенных функций 
такова, что для любой 
из D(О)числовая последовательность 
сходится, то функционал 
принадлежит D' (О). Обобщенная функция из D' (О)имеет произвольный "рост" в окрестности границы дО, в частности любая функция
определяет обобщенную функцию из 
по формуле 
3) Пространства
. Пусть 
- банахово пространство, состоящее из всех функций 
голоморфных в трубчатой области 
с нормой
вложение
компактно. Пусть Ф - индуктивный предел (возрастающей) последовательности пространств 
Пространство Ф типа DFS, а его сопряженное Ф' типа FS. Элементы Ф являются Фурье - гиперфункциями; Ф' изоморфно также пространству 
Лит.:[1] Schwartz L., Theoric dcs distributions, t. 1-2, P., 1950-51; [2] Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Дьёдонн е Ж., Шварц Л., "Математика", 1958, т. 2, №2, с. 77- 107; [4] Гротендик А., там же, № 3, с. 8!-127;[5] Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Пространства основных и обобщенных функций, М., 1958: [6]Yoshinaga К., "J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A", 1957, v. 21, p. 89-98; [7] Кawai Т., "J. Fас. Sci. Univ. Tokyo Sec. 1A", 1970, v. 17, p. 467-517; [8] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической фивике, 2 изд., М., 1979.
В. С. Владимиров.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
