- ЯДЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
локально выпуклое пространство, у к-рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги теоремы Шварца о ядре (см. Ядерная билинейная форма). Основополагающие результаты теории Я. и. принадлежат А. Гротендику [1]. Употребительные в анализе функциональные пространства, как правило, являются банаховыми или Я. п. Важную роль играют Я. п. в спектральном анализе операторов в гильбертовых пространствах (построение оснащенных гильбертовых пространств, разложения по обобщенным собственным векторам и т. п.) (см. [2]). Я. п. тесно связаны с теорией меры на локально выпуклых пространствах (см. [3]). Удается охарактеризовать Я. п. в терминах инвариантов типа размерности (аппроксимативная размерность, диаметральная размерность и др.) (см. [2], [4], [5]). Одним из таких инвариантов является функциональная размерность, к-рая для многих пространств, состоящих из целых аналитич. ф-ций, совпадает с числом переменных, от к-рых зависят эти функции (см. [2]).
По своим свойствам Я. п. приближаются к конечномерным пространствам. Каждое ограниченное множество в Я. п. предкомпактно. Если Я. п. полно (или хотя бы квазиполно, т. е. каждое замкнутое ограниченное множество является полным), то оно полурефлексивно (т. е. второе сопряженное к этому пространству совпадает с ним по запасу элементов) и каждое замкнутое ограниченное множество в нем является компактным. Если квазиполное Я. п. является бочечным пространством, то оно является и Монтеля пространством (в частности, рефлексивно); всякая слабо сходящаяся счетная последовательность в таком пространстве сходится и в исходной топологии. Нормированное пространство ядерно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Каждое Я. п. обладает свойством аппроксимации: любой непрерывный линейный оператор в таком пространстве можно приблизить в операторной топологии предкомпактной сходимости операторами конечного ранга (т. е. непрерывными линейными операторами с конечномерными образами). Тем не менее существуют ядерные Фреше пространства, не обладающие свойством ограниченной аппроксимации: в таком пространстве тождественный оператор не является пределом счетной последовательности операторов конечного ранга в сильной или слабой операторной топологии [6]. Построены Я. п. Фреше без базиса Шаудера, причем такие пространства могут иметь сколь угодно малую диаметральную размерность, т. е. в нек-ром смысле могут быть сколь угодно близкими к конечномерным [7]. Для Я. п. построен и контрпример к проблеме инвариантного подпространства: в нек-ром ядерном пространстве Фреше указан непрерывный линейный оператор, не имеющий нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств [8].
Примеры Я. п. 1) Пусть- пространство всех (действительных или комплексных) бесконечно дифференцируемых функций на
наделенное топологией равномерной сходимости со всеми производными на компактных подмножествах в
Сопряженное к
пространство
состоит из всех обобщённых функций с компактным носителем. Пусть
и
- линейные подпространства в
состоящие соответственно из функций с компактным носителем и из функций, убывающих при
вместе со всеми производными быстрее любой степени | х|-1. Сопряженные к
и
относительно стандартной топологии пространства
и
состоят соответственно из всех обобщенных функций и всех обобщенных функций медленного роста. Пространства
наделенные сильными топологиями, являются полными рефлексивными Я. п.
2) Пусть { а пр} - бесконечная матрица, причемп, р=1,2, .... Пространство таких последовательностей
что
для всех р, с топологией, задаваемой преднормами
наз. пространством Кёте и обозначается
Это пространство ядерно тогда и только тогда, когда для любого рнайдется такое q, что
Свойства наследования. Локально выпуклое пространство ядерно тогда и только тогда, когда ядерно его пополнение. Каждое подпространство (отделимое факторпространство) Я. п. ядерно. Прямая сумма, индуктивный предел счетного семейства Я. п., а также произведение, проективный предел любого семейства Я. п.- снова Я. п.
Пусть Е - произвольное локально выпуклое пространство, Е' - сопряженное пространство к Е, наделенное сильной топологией. Если Е' - Я. п., то Еназ. дуально ядерным. Если Е - произвольное пространство, a F - Я. п., то пространство L(E, F )непрерывных линейных операторов из Ев Fявляется Я. п. относительно сильной операторной топологии (простой сходимости); если к тому же Еполурефлексивно и дуально ядерно, то L(E, F) ядерно и в топологии ограниченной сходимости.
Метрические и дуально метрические Я. п. Локально выпуклое пространство Еназ. дуально метрическим или пространством типаесли оно имеет счетную фундаментальную систему ограниченных множеств и каждое (сильно) ограниченное счетное объединение равностепенно непрерывных подмножеств в Е' равностепенно непрерывно. Всякое сильное сопряженное к метризуемому локально выпуклому пространству является дуально метрическим; обратное неверно. Если Е - пространство типа
то Е' - пространство типа
(пространство Фреше, т. е. полное и метризуемое). Примерами Я. п. типа
являются пространства Кёте, а также
соответственно
- Я. п. типа
Пространства
и
не являются ни метрическими, ни дуально метрическими.
Метрические и дуально метрические Я. п. сепарабельны, а если они полны, то рефлексивны. Переход к сопряженному пространствуустанавливает взаимно однозначное соответствие между Я. п. типа
и полными Я. п. типа
Если Е - полное Я. п. типа
a F - Я. п. типа
то пространство операторов L(E, F), наделенное топологией ограниченной сходимости, ядерно и дуально ядерно.
Каждое Я. п. типаизоморфно подпространству пространства
бесконечно дифференцируемых функций на прямой, т. е.
- универсальное пространство для Я. п. типа
(см. [10]). Пространство Фреше Еядерно тогда и только тогда, когда всякий безусловно сходящийся ряд в Есходится абсолютно (т. е. по любой непрерывной преднорме). Интенсивно изучаются пространства голоморфных функций на Я. и. типа
и
(см. [11]).
Тензорные произведении Я. п. и пространства вектор-функций. Алгебраическое тензорное произведениелокально выпуклых пространств Еи Fможно наделить проективной и слабой топологиями, превращающими
в топологическое тензорное произведение. Проективная топология - это сильнейшая локально выпуклая топология, для к-рой каноническое билинейное отображение
непрерывно. Слабая топология (или топология (би)равностепенно непрерывной сходимости) индуцируется при естественном вложении
где
-сопряженное пространство к Е, наделенное топологией Макки
а
- пространство непрерывных линейных отображений
наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных множествах в К'. При этом вложении алемент
переходит в оператор
где < х, х'> - значение функционала
на
Пополнение
в проективной (слабой) топологии обозначается (соответственно
Для того чтобы Ебыло Я. п., необходимо и достаточно, чтобы для произвольного локально выпуклого пространства . проективная и слабая топологии всовпадали, т. е.
Если F совпадает с пространством l1 суммируемых последовательностей, то Е - Я. п.; вместо l1 можно взять любое пространство с безусловным базисом (см. [12]). Тем не менее существует такое (неядерное) бесконечномерное сепарабельное банахово пространство X, что(см. [13]). Если Еи F- полные пространства и F - Я. и., то вложение
продолжается до изоморфизма между
Если Е - ненулевое Я. п., тоядерно тогда и только тогда, когда Fядерно. Если Еи F - оба пространства типа
(или
и Е - ядерно, то
- пространство типа
(соответственно
и
Пусть Е- полное Я. п., состоящее из скалярных функций (не всех) на нек-ром множестве Т, причем . является индуктивным пределом (локально выпуклой оболочкой) счетной последовательности пространств типаи топология в Е не слабее топологии поточечной сходимости функций на Т. Тогда для любого полного пространства Fможно отождествить
с пространством всех таких отображений (вектор-функций)
что скалярные функции
принадлежат Едля всех
В частности,
совпадает с пространством всех бесконечно дифференцируемых вектор-функций на
со значениями в F, а
Структура Я. п. Пусть U - выпуклая закругленная окрестность нуля в локально выпуклом пространстве Е, а р - соответствующий Uфункционал Минковского (непрерывная преднорма), Е U - факторпространство Е/р-1(0) с нормой, индуцированной проднормой- пополнение нормированного пространства Е U. Определено непрерывное каноническое линейное отображение
если окрестность Uсодержит окрестность F, то канонически определяется непрерывное линейное отображение
Для локально выпуклого пространства . следующие условия эквивалентны: 1) Еявляется Я. п.; 2) в . существует такой базисвыпуклых закругленных окрестностей нуля, что для любой окрестности
канонич. отображение
является ядерным оператором; 3) отображение
ядерно для любой выпуклой закругленной окрестности нуля Uв Е; 4) всякая выпуклая закругленная окрестность нуля Uв Есодержит другую такую окрестность нуля V, что ядерно канонич. отображение
Пусть К - Я. и. Для любой окрестности нуля U в Еилюбого такого числа р, чтосуществует выпуклая закругленная окрестность
для к-рой EV (понорме) изоморфно подпространству в пространстве lp суммируемых со степенью рпоследовательностей. Таким образом, Есовпадает с локально выпуклым ядром (индуктивным пределом) семейства пространств, изоморфных lp. В частности (случай р=2) в любом Я. п. Есуществует такой базис окрестностей нуля
что все пространства
гильбертовы; таким образом, Е - мультигильбертово пространство, т. е. топология в Еможет быть порождена семейством преднорм, каждая из к-рых получается из нек-рой неотрицательно определенной эрмитовой формы на
Любое полное Я. п. изоморфно проективному пределу семейства гильбертовых пространств. Пространство Етипа
ядерно тогда и только тогда, когда его можно представить в виде такого проективного предела
счетного семейства гильбертовых пространств Н п. что gmn -ядерные операторы (или хотя бы Гильберта-Щмидта oператoры )при m<n.
Базисы в Я. п. В Я. п. любой равностепенно непрерывный базис является абсолютным. В пространстве типалюбой счетный базис (хотя бы слабый) является равностепенно непрерывным базисом Шаудера, так что в Я. п. типа
всякий базис является абсолютным (в частности, безусловным). Аналогичный результат справедлив для полных Я. п. типа
и всех Я. п., для к-рых имеет место теорема о замкнутом графике. Факторпространство Я. п. типа
с базисом не обязано иметь базис (см. [4], [5], [6]).
Пусть Е- Я. п. тинаТопологию в Еможно задать счетной системой преднорм
, р=1, 2, .. ., причем
для всех
Если в Есуществует базис или непрерывная норма, то преднормы
можно считать нормами. Пусть { е n} - базис в Е;тогда любой элемент
разлагается в сходящийся (абсолютно и безусловно) ряд
где координатыимеют вид
а функционалы
образуют биортогональный базис в Е'. Пространство Еизоморфно пространству Кётe
где
при этом изоморфизме элемент
переходит в последовательность своих координат
Базис {fn} в Еэквивалентен базису { е n},т. е. получается из него под действием изоморфизма тогда и только тогда, когда пространства Кёте
и
совпадают как множества [4]. Базис {fn} наз. регулярным (пли правильным), если существует система норм
и перестановка индексов
такие, что
монотонно убывает при всех
Если Я. п. Етипаимеет регулярный базис, то любые два базиса в Еквазиэквивалентны (т. <е. могут быть сделаны эквивалентными путем перестановки и нормировки элементов одного из них). Существуют и другие достаточные условия, при к-рых все базисы в Еквазиэквивалентиы (см. [4],-[14]). Полное описание класса Я. п., обладающих этим свойством, неизвестно (1984).
Пример. Функции Эрмитаобразуют базис в полном метрич. Я. п.
быстро убывающих вместо со всеми производными гладких функций на прямой. Пространство
изоморфно пространству Кёте
Лит.:[1] Gruthtnidieck A., Produils tensoriels topologiques et espaces nucleaires, Providence, 1955; [2] Гольфанд И. М., Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства, М., 1961; [3] Минлос Р. А., лТр. Моск. матем. об-ва
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.