ИНДУКТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ

- конструкция, к-рая впервые появилась в теории множеств, а затем стала широко использоваться в алгебре, топологии и других областях математики. Важный частный случай И. п.- это И. п. направленного семейства однотипных математических структур. Пусть С- направленное по возрастанию предупорядоченное множество, т. е. в Сзадано рефлексивное и транзитивное отношение и для любых элементов a, найдется такой элемент что и И пусть каждому сопоставлена некоторая структура А _a. (для определенности можно считать, что А _a.- группы) и при заданы гомоморфизмы j_ab : удовлетворяющие двум условиям: для любого и для любых из С. На множестве вводится отношение эквивалентности : элемент эквивалентен элементу , если xj_ag=yj_bg. для некоторого у. Фактормножество можно снабдить структурой группы: если и то произведением классов эквивалентности с представителями хи усчитается класс эквивалентности с представителем Построенная группа Аназ. И. п. семейства групп А _a. Для каждого существует естественный гомоморфизм j_a : который элементу сопоставляет его класс эквивалентности. Группа А, вместе с гомоморфизмами j_a, обладает следующим универсальным свойством: для любой системы гомоморфизмов y_a : для которой при существует такой единственный гомоморфизм y : что для любого

Обобщением данной конструкции И. п. является индуктивный предел (прямой предел, копредел) функтора. Объект Акатегории наз. индуктивным пределом ковариантного функтора F:если:

1. существуют такие морфизмы j_D : где что для любого морфизма а : из

2. для любого семейства морфизмов y_D : где для к-рого при любом a.: DD₁ из существует такой единственный морфизм у: что

И. п. обозначается или или И. п. контравариантного функтора

F:определяется как индуктивный предел ковариантного функтора F* из двойственной к категории D* в категорию

Всякое предупорядоченное множество С можно рассматривать как категорию, объектами к-рой являются элементы множества С, а морфпзмами - всевозможные пары (a, b), где а, ис очевидным законом композиции. В произвольной категории Псемейство объектов А _a, . и морфпзмов j_ab : где можно рассматривать как образ функтора

F: если и при

Если - категория множеств (групп, топологич. пространств и т. п.), то И. п. функтора F:С->p совпадает с приведенной выше конструкцией индуктивного предела.

Если - малая дискретная категория, то И. п. любого функтора Fиз в произвольную категорию есть копроизведение объектов F(D),В частности, если категория пуста, то И. п. есть левый нуль, или инициальный объект категории Коядра пар морфизмов любой категории являются И. п. функторов со значениями в к-рые определены на категории с двумя объектами X и Y и четырьмя морфизмами 1_X, 1_Y и a, b:

Всякий ковариантный функтор Fиз произвольной малой категории в категорию обладает И. п. тогда и только тогда, когда - категория с копроизведениями и коядрами пар морфизмов.

Лит.:[1] Александров П. С, Топологические теоремы двойственности, ч. 1, М., 1955 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 48); [2] Бунур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974.

М. Ш. Цаленко.