ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ

произведение обобщенной функции с функцией определяемое равенством при атом и для (обычных) функций из произведение совпадает с обычным умножением функций и

Примеры. 1)

Однако эта операция произведения не допускает распространения на любые обобщенные функции так, чтобы она была ассоциативной и коммутативной, иначе было бы противоречие:

Чтобы определить произведение двух обобщенных функций и , достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, свойствами: насколько f "нерегулярна" в окрестности произвольной точки, настолько gдолжна быть "регулярной" в этой окрестности и наоборот, напр, если sing supp (см. Обобщенной функции носитель). В нек-рых классах обобщенных функций их произведение можно определить, однако оно может оказаться неоднозначным.

Пример ы: 3) Граничные значения из алгебры голоморфных функций Н(С)(одночастотные обобщенные функции):

Они образуют алгебру, ассоциативную и коммутативную с единицей [2].

4) где с- произвольная постоянная. Действительно,

Но на основных функциях таких, что ,

Поэтому естественно положить если , . Расширяя этот функционал на все основные функции из D, получают 4).

5) Определить произведение . Функция не принадлежит к , однако она определяет регулярные обобщенные функции:из Их можно согласованно продолжить до обобщенных функций из , напр., взяв конечную часть по Адамару расходящегося интеграла (перенормировав его)

Обобщенная функция (перенормированный функционал для ) зависит от произвольного параметра , Произвол в перенормировке таков:

Эти идеи привели к процедуре перенормировки амплитуд Фейнмана в квантовой теории поля. Перенормировочные константы (напр., массы и заряды) выступают как произвольные постоянные, аналогичные ; наиболее общее определение О. ф. п. дается в терминах волновых фронтов.

Лит.:[1] Schwartz L., Theorie des distributions, t. 1-2, P., 1950-51; [2] Владимиров В. С, Обобщенные функции в математической физике, М., 1976; [3] Боголюбов Н. Н., Парасюк О. С, "Acta Math.", 1957, v. 97, p. 227-66; [4] Хепп К., Теория перенормировок, пер. с франц., М., 1974.

В. С. Владимиров.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Игры ⚽ Нужно сделать НИР?

Полезное


Смотреть что такое "ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОИЗВЕДЕНИЕ" в других словарях:

  • Пространство обобщенных функций — Обобщённая функция или распределение  математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в… …   Википедия

  • Пространство обобщённых функций — Обобщённая функция или распределение  математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в… …   Википедия

  • Обобщённая функция — или распределение математическое понятие, обобщающее классическое понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих физических и математических задачах. Понятие обобщённой функции даёт возможность выразить в математически… …   Википедия

  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ — уравнение вида где F заданная действительная функция точки х=(xt, ..., х п )области Dевклидова пространства Е п, и действительных переменных (и(х) неизвестная функция) с неотрицательными целочисленными индексами i1 ,..., in, k=0, ..., т, по… …   Математическая энциклопедия

  • ОБОБЩЕННОГО СДВИГА ОПЕРАТОРЫ — гипергруппа, понятие, возникшее в результате аксиоматизации нек рых свойств операторов сдвига в пространствах функций на группе. В терминах операторов группового сдвига можно сформулировать такие важные математич. понятия как свертка, групповая… …   Математическая энциклопедия

  • ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ — математическое понятие, обобщающее классич. понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих технич., физич. и математич. задачах. Понятие О. ф. дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные… …   Математическая энциклопедия

  • ЯДЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпуклое пространство, у к рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги… …   Математическая энциклопедия

  • СВЕРТКА — ф у н к ц и й f (x) и g (x), принадлежащих , функция h(x), определяемая равенством и обозначаемая символом (f*g)(x). Функция f*g определена почти всюду и также принадлежит Свертка обладает основными свойствами операции умножения, а именно: для… …   Математическая энциклопедия

  • ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — обобщенной функции расширение операции преобразования Фурье с основных функций на обобщенные функции. Пусть К пространство основных функций, на к ром определена операция преобразования Фурье F, причем F изоморфизм Кна пространство основных… …   Математическая энциклопедия

  • Пространство Соболева — (в математике)  функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега ( ), имеющих обобщенные производные заданного порядка из . При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»