ПОДГРУППА

- подмножество Н группы G, само являющееся группой относительно операции, определяющей G. Подмножество Нгруппы Gявляется ее подгруппой тогда и только тогда, когда: (1) H содержит произведение любых двух элементов из H, (2) H содержит вместе со всяким своим элементом hобратный к нему элемент h^-1. В случае конечных и, вообще, периодич. групп проверка условия (2) является излишней.

Подмножество группы G, состоящее из одного элемента 1, будет, очевидно, подгруппой, и эта П. наз. единичной П. группы G и обозначается обычно символом Е. Сама G также является своей П. Всякая П., отличная от всей группы, наз. истинной П. этой группы. Истинная П. нек-рой бесконечной группы может быть изоморфна самой группе. Сама группа G и подгруппа Еназ. несобственными П. группы G, все остальные - собственными.

Теоретико-множественное пересечение любых двух (и любого множества) П. группы G является П. группы G. Пересечение всех П. группы G, содержащих все элементы нек-рого непустого множества М, наз. подгруппой, порожденной множеством М, и обозначается символом {М}. Если Мсостоит из одного элемента а, то {а} наз. циклической П. элемента а. Группа, совпадающая с одной из своих циклических П., наз. циклической группой.

Теоретико-множественное объединение П., вообще говоря, не обязано являться П. Объединением подгрупп , наз. П., порожденная объединением множеств H_i.

Произведение подмножеств S₁ и S₂ группы G есть множество, состоящее из всевозможных (различных) произведений s₁s₂, где , . Произведение подгрупп Н ₁ Н ₂ есть П. тогда и только тогда, когда H₁H₂=H₂H₁, и в этом случае произведение Н ₁ Н ₂ совпадает с объединением подгрупп Н ₁ и H₂.

Гомоморфный образ П.- подгруппа. Если группа G₁ изоморфна нек-рой подгруппе H группы G, то говорят, что группа G₁ может быть вложена в группу G. Если даны две группы и каждая из них изоморфна нек-рой истинной П. другой, то отсюда еще не следует изоморфизм самих этих групп. О. А. Иванова.