ИДЕАЛ

- специального рода подобъект в иек-рой алгебраич. структуре. Понятие И. возникло первоначально в теории колец. Название И. ведет свое происхождение от идеальных чисел.

Для алгебры, кольца или полугруппы Аидеал I есть подалгебра, подкольцо или полугруппа, замкнутая относительно умножения на элементы из А. При этом И. I наз. левым (соответственно правым), если он замкнут относительно умножения слева (соответственно справа) на элементы из А, т. е.

АI =I (соответственно IА = I), где

И., являющийся одновременно левым и правым (т. е. выдерживающий любые умножения на элементы из А), наз. двусторонним. В коммутативном случае все эти три понятия совпадают. Любому утверждению о левых И. отвечает двойственное утверждение о правых И. (далее формулировки будут приводиться только в "левом случае").

Двусторонние И. в кольцах и алгебрах играют ту же роль, что и нормальные делители в группах. Для всякого гомоморфизма f: ядром Кеr f (т. е. множеством элементов, отображающихся f в 0) служит И., и обратно, всякий И.- ядро нек-рого гомоморфизма. Более того, И. I однозначно определяет конгруэнцию x в А, нулевым классом к-рой он является, и, следовательно, однозначно (с точностью до изоморфизма) определяет образ Af гомоморфизма f, ядром к-рого он служит: Af изоморфно факторкольцу (факторалгебре) А/x, обозначаемому также А/I. Аналогичными свойствами относительно гомоморфизмов обладают И. мультиоператорных групп. В мультиоператорной Q-группе АИ. определяется как нормальный делитель ее аддитивной группы, удовлетворяющий условию: для всякой n-арной операции со, любых элементов и при всяком i=1, 2, . . ., и должно иметь место включение-(а ₁, а ₂. . . а _nw)+а ₁ . . . а _i-1(b+а _i) а _i+1 ... а _nwI (для колец и алгебр это понятие индуцирует понятие двустороннего И.).

Двусторонние И. полугрупп, напротив, не дают описания всех гомоморфных образов данной полугруппы. Если задан гомоморфизм f полугруппы Ана полугруппу В, то только в случае, когда В- полугруппа с нулем, с гомоморфизмом f естественно связан двусторонний И. f^-1(0), к-рый, однако, не обязан определять однозначно f. Тем не менее, если I - И. в A, то среди факторполугрупп полугруппы А, имеющих в качестве элемента класс I, существует максимальная фактор-полугруппа А/I (наз. идеальным факторо м). Элементами этой полугруппы будут элементы множества и сам И. I, к-рый будет нулем в А/I.

Для любого подмножества можно определить идеал I_X, порожденный X, как пересечение всех И., содержащих множество X. Множество Xназ. базисом идеала I_X. Разные базисы могут порождать один и тот же И. Идеал, порожденный одним элементом, наз. главным.

Пересечение, а в случае полугрупп и объединение левых (двусторонних) И. снова будет левым (двусторонним) И. Для колец и алгебр теоретико-множественное объединение И. не обязано быть И. Пусть I₁, I₂- левые или двусторонние И. в кольце (алгебре) А. Суммой идеалов I₁ и I₂ наз. И. он является минимальным И . в А, содержащим I₁ и I₂. Относительно операций пересечения и взятия суммы все (левые или двусторонние) И. кольца (или алгебры) образуют решетку. Многие классы колец и алгебр определяются условиями на их И. или решетку И. (см. Главных идеалов кольцо, Артиново кольцо, Нестерове кольцо).

И. мультипликативной полугруппы кольца может и не быть И. кольца. Полугруппа Аявляется группой тогда и только тогда, когда Ане содержит (как левых, так и правых) И., отличных от самой А. Таким образом, обилие И. в полугруппе характеризует отчасти степень отличия данной полугруппы от группы.

Для k -алгебры А(алгебры над полем к)И. кольца Аможет, вообще говоря, не быть И. алгебры А. Напр., если Аесть k-алгебра с нулевым умножением, то множество всех И. кольца Асовпадает с множеством всех подгрупп аддитивной группы А, а множество всех И. алгебры Асовпадает с множеством всех подпространств векторного k-пространства А. Однако в случае, когда А- алгебра с единицей, оба эти понятия И. совпадают. Поэтому многие результаты одинаково формулируются как для колец, так и для алгебр.

Кольцо, не имеющее двусторонних И., наз. просты м. Кольцо без собственных односторонних И. является телом. Левые И. кольца Аможно определить также, как подмодули левого А-модуля А. Нек-рые свойства колец не меняются при замене левых И. на правые. Напр., Джекобсона радикал, определенный с помощью левых И., совпадает с радикалом Джекобсона, определенным с помощью правых И. С другой стороны, нётерово слева кольцо может не быть нётеровым справа.

Изучение И. коммутативных колец - важная часть коммутативной алгебры. С любым коммутативным кольцом с единицей связано топологич. пространство Spec A, точками к-рого являются все простые И. кольца А, отличные от А. При этом существует взаимно однозначное соответствие между всеми И. кольца Аи всеми замкнутыми подмножествами пространства Spec A. В коммутативной алгебре встречается понятие И. поля, точнее И. поля относительно кольца. При этом кольцо Акоммутативно, с единицей и без делителей нуля, а поле Q- поле частных кольца А. Идеалом поля Qназ. ненулевое подмножество являющееся подгруппой аддитивной группы поля Q, выдерживающее умножения на элементы из А(т. е. для любых и такое, что существует элемент для к-рого И. наз. целым, если он содержится в А (и тогда он служит обычным И. кольца А), в противном случае I наз. дробным идеалом.

Идеалом решетки наз. непустое подмножество Iэлементов решетки, удовлетворяющее условиям: 1) если то 2) если то Дуальный идеал (или фильтр) решетки определяется двойственным образом ( а,, И. решетки, упорядоченные включением, сами образуют решетку. Максимальный элемент в множестве всех собственных И. решетки наз. максимальным идеалом. Если f - гомоморфизм решетки в частично упорядоченное множество с нулем, то полный прообраз нуля является И. Он наз. ядерным идеалом гомоморфизма f. И. Sрешетки Lназ. стандартным, если для любых неравенство a<b+s влечет a=x+t, где и Всякий стандартный И. является ядерным.

Ядерный И. решетки с относительными дополнениями (см. Решетка с дополнениями )является стандартным. И. I наз. простым, если из следует, что или Каждое из следующих условий эквивалентно простоте для И. Iрешетки L:. а) дополнение является фильтром; б) I - полный прообраз нуля при нек-ром гомоморфизме решетки Lна двухэлементную решетку. В дистрибутивной решетке каждый максимальный И. прост.

Не вполне согласовано с предыдущим определение И. в частично упорядоченном множестве. А именно, вместо условия 1) требуется выполнение более сильного условия: для всякого подмножества элементов, лежащих в И., их объединение, если оно существует в этом частично упорядоченном множестве, также лежит в I..

Идеалом объекта Акатегории с нулевыми морфизмами наз. подобъект(U,m) объекта Атакой, что m=кеra для нек-рого морфизма Этот И. можно отождествить с совокупностью всех мономорфизмов, являющихся ядрами нек-рого морфизма (см. также Нормальный мономорфизм). Двойственным образом определяется коидеал объекта категории. Понятие И. для W-групп является частным случаем понятия И. объекта категории.

Левым идеалом категории наз. класс морфизмов, содержащий вместе со всяким своим морфизмом j все произведения aj, где если они определены в категории М. Двойственным образом определяется правый идеал категории. Двусторонний идеал - класс морфизмов, являющийся как левым, так и правым И.

Лит.:[1] Борович З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; [2] Бурбаки Н., Коммутативная алгебра, пер. с франц., М., 1971; [3] Ван-дер-Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [4] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [5] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [6] Ляпин Е. С, Полугруппы, М., 1960; [7] Скорняков Л. А., Элементы теории структур, М., 1970; [8] Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974.

Л. В. Кузьмин, Т. С. Фофанова, М. III. Цаленко.

Т-ИДЕАЛ свободной ассоциативной алгебры - вполне характерпстнч. идеал этой алгебры, т. е. идеал, инвариантный относительно всех эндоморфизмов. Совокупность полиномиальных тождеств произвольной ассоциативной алгебры над полем Fобразует Т-И. в счетно порожденной свободной алгебре F[X], Х= {х ₁,. . ., x_k,...}. Поэтбму существует взаимно однозначное соответствие между Т-И. алгебры F [X]и многообразиями ассоциативных алгебр над полем F. Если поле Fимеет характеристику 0, то для любого Т-И. существует такое натуральное число.. п=п( Т), что элементами Тявляются нек-рые степени элементов М _n(F). и только они, где М _n(F)- идеал тождеств алгебры квадратных матриц F _п порядка пнад F. В этом случае Т-И. можно определить также как (односторонний) идеал, замкнутый относительно всех дифференцирований свободной алгебры. Фактор-алгебра F[Х]/Т является PI -алгеброй, совокупность полиномиальных тождеств к-рой совпадает с Т. Она наз. относительно свободной алгеброй Т-И. тождеств Т(и является свободной алгеброй многообразия алгебр, определяемого тождествами из Т). Алгебра F[Х]/Т не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда T=M_n(F)для некоторого натурального числа п. Всякий Т-И. Тсвободной ассоциативной алгебры является примерным идеалом.

Т-И. свободной ассоциативной алгебры с бесконечным множеством порождающих над полем нулевой характеристики образуют свободную полугруппу относительно операции умножения идеалов. В этом случав Т-И. можно определить как идеалы, инвариантные относительно всех автоморфизмов свободной алгебры.

Вопрос о том, обладает ли всякий Т-И. алгебры F[X]конечным числом образующих как вполне характеристич. идеал (проблема Шпехта), открыт (1977). См. также Колец многообразие.

По аналогии с ассоциативным случаем Т-И. можно определить в неассоциативных алгебрах (лиевых, альтернативных и др.).

Лит.:[1] Procesi С, Rings with polynomial identities, N.Y., 1973; [2] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [3] Херстейн И., Некоммутативные кольца, пер. с англ., М., 1972; [4] Amitsur S., "J. London. Math. Soc", 1955, v. 30, p. 470-75; [5] Specht W., "Math. Z.", 1950, Bd 52, S. 557-89; [6] Bergman G., L e w i n J., "J. London. Math. Soc", 1975, ser. 2, v. 11, Ni1, p. 21-31.

В. Н. Латышев.