МИНИМАЛЬНЫХ ИТЕРАЦИЙ МЕТОД

- метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b, в к-ром решение xпредставляется в виде линейной комбинации базисных векторов, ортогональных в нек-рон метрике, связанной с матрицей системы.

В случае симметричной матрицы Аортогональная система векторов p₀, р ₁ ..., p_n-1 строится по трехчленным рекуррентным формулам

p_n+1=Ap_k -a_kp_k -b_kp_k-1 , k=1, 2, ..., n- 2, (1) p₁=Ap₀-a_op, p₀- произвольный вектор, где a_k=(Ap_k , p_k)/(p_k ,p_k ),k=1, 2, ..., n- 2, bk=(p_k ,p_k )/(p_{k -1} , p_k-1 ),k=1, 2, ..., n- 2.

Решение системы находится по формулам а коэффициенты с _k дают решение системы

В случае вырождения в алгоритме ортогонализации, т. е. когда р ₂=0 при , выбирают новый начальный вектор ортогональный и достраивают систему базисных векторов до полной системы.

Для случая несимметричной матрицы разработан биортогональный алгоритм.

Если матрица Асимметрична и положительно определена, то построение А-ортогональной системы векторов по формулам (1) с

позволяет избежать решения вспомогательной системы (2) и получить явное выражение для коэффициентов При этом методу A-минимальных, итераций можно придать итерационную форму

причем х=х _п_₁. Такая модификация метода не требует повторного использования всех векторов р ₀ , р₁, . . ., p_k-1.M. и. м. используется также для решения полной проблемы собственных значении и для нахождения обратной матрицы.

Лит.:[1] Lanсzоs С, "J. Res. Nat. Bur. Stand.", 1950, v. 45, №4, p. 255-88; [2] Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, М., 1960.

Е. С. Николаев.