МИНИМАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

- поверхность, у к-рой средняя кривизна Нравна нулю во всех точках.

Первые исследования о М. п. восходят к Ж. Лагранжу (J. Lagrange, 1768), к-рый рассмотрел следующую вариационную задачу: найти поверхность наименьшей площади, натянутую на данный контур. Предполагая искомую поверхность задаваемой в виде Ж. Лагранж получил, что необходимо должна

удовлетворять т. н. уравнению Эйлера - Лагранжа

Позже Г. Монж (G. Monge, 1776) обнаружил, что условие минимальности площади приводит к условию Н=0, и поэтому за поверхностями с H=0 закрепилось название "минимальные". В действительности, однако, нужно различать понятия М. п. и поверхности наименьшей площади, т. к. условие минимальности Н=0 пред ставляет собой лишь необходимое условие минимальности площади, вытекающее из равенства нулю 1-й вариации площади поверхности среди всех поверхностей класса С ² с заданной границей. Для проверки достижения в указанном классе хотя бы относительного (локального) минимума приходится исследовать 2-ю вариацию площади поверхности.

Теория М. п. имеет богатую историю - его занимались почти все крупные математики 19 - 20 вв. Ее задачи стимулировали развитие многих смежных областей математики. Первые общие методы интегрирования уравнения Эйлера - Лагранжа были предложены Г. Монжем (1784) и А. Лежандром (A. Legendre, 1787) в виде т. н. формул Монж а, полученных через комплексные характеристики уравнения (1):

где и - комплексные переменные, A(t), . .., С ₁() - голоморфные функции, удовлетворяющие условиям

Однако эти методы в силу недостаточного еще развития теории функций комплексного переменного долгое время оставались без применения [в 1832 С. Пуассон (S. Poisson) писал, что из формул Монжа трудно извлечь какую-либо пользу, т. к. они усложнены введением комплексных переменных].

Новые результаты о М. п. стали появляться лишь с начала 30-х гг. 19 в. С. Пуассон анонсировал (1832) решение им вариационной задачи Лагранжа в случае, когда край поверхности близок к плоской кривой. Вскоре к известным уже М. п.- катеноиду[Л. Эйлер (L. Euler, 1774), Ж. Мёнье (J. Meusnier, 1776)] и геликоиду (Ж. Мёнье, 1776) - была добавлена третья М. п.- Шерка поверхность (Н. Scherk, 1834). В 1842 Э. Каталан (Е. Catalan) доказал, что геликоид является единственной линейчатой М. п.; в 1844 была поставлена и решена Бъёрлинга задача;в 50-х гг. 19 в. в серии работ О. Бонне (О. Bonnet) были даны новые доказательства известных к тому времени фактов теории М. п. и найдены другие свойства М. п. (единственность катеноида как М. п. вращения, конформность сферич. отображения М. п. и др.).

В 1866 были открыты формулы Вейерштрасса:

представляющие односвязную М. п. S ( х, у,z) через голоморфные функции и , определенные в круге или во всей плоскости изменения внутренних изотермических координат. Эти формулы эквивалентны или содержат как частные случаи все другие найденные до этого параметрич. представления М. п. [Б. Риман (В. Riemann, 1860), А. Эннепер (А. Епперег, 1864), К. М. Петерсон, 1866, и др.] и дают регулярную М. п. только в случае, когда f и g не имеют общих нулей, а в случае совпадения нулей функций f и g поверхность является т. н. обобщенной М. п. с вырождающейся в общих нулях f и gметрикой

В этих точках появляются ветвления точки М. п. С помощью формул Вейерштрасса появилась возможность явного построения и изучения многих конкретных М. п., в частности алгебраич. М. п., получаемых при алгебраич. функциях f и g.

В 1874 Г. Шварц (Н. Schwarz) получил представление М. п. в изотермич. координатах в виде

где и - трехмерные векторы с голоморфными компонентами, совпадающими соответственно с и единичной нормалью n(u,0) к М. п. При эта формула дает решение задачи Бьёрлинга в явном виде и позволяет распространить на М. п. принцип симметрии Шварца.

В эти же годы С. Ли (S. Lie, 1878) развил свою интерпретацию формул Монжа, сопоставив каждой М. п. с гармонич. радиус-вектором комплексно-аналитич. кривую

и представив М. п. как поверхность переноса кривой и ей комплексно-сопряженной кривой что послужило отправной точкой для установления плодотворных связей между теорией М. п. и аналитич. ривых. Таким образом, труды К. Вейерштрасса, С. Ли, Б. Римана, Г. Шварца и др. привели к концу 19 в. к широкому использованию в теории М. п. методов и результатов теории функций комплексного переменного.

В своих опытах Ж. Плато (J. Plateau, 1849) пришел к физнч. реализации М. п. в виде мыльных пленок, натянутых на проволочные каркасы различной формы. Его опыты оживили интерес к старой проблеме нахождения М. п. по ее заданному граничному контуру. Эту проблему стали называть Плато задачей. Первые ее решения были получены для различных случаев полигональных контуров, при этом, в частности, была открыта Римана- Шварца поверхность.

В 1816 в теории М. п. появилась новая задача Жергонна: найти М. п., если часть ее границы задана, а остальная часть должна располагаться на нек-рой заранее заданной поверхности; эта задача стала наз. задачей о М. п. со свободной границей. Первые результаты по ее решению также относятся к случаям, когда заданная часть границы состоит из отрезков прямых, а остальная ее часть должна находиться на заданных плоскостях (более подробно см. в [1], [2]).

С начала 20 в. усилился интерес к изучению М. п. "в целом". Изучалась задача Дирихле для уравнения Эйлера - Лагранжа [А. Корн {А. Когп, 1909), С. Н. Бернштейн, 1900]; была получена Бернштейна теорема о М. п.; вообще с началом работ С. Н. Бернштейна в теорию М. п. вошли методы теории дифференциальных уравнений с частными производными. Г. Либман (Н. Liebmann, 1919) установил связь между М. п. и бесконечно малыми изгибаниями сферы. Венцом достижений 1-й пол. 20 в. в теории М. п. было полное решение задачи Плато, сначала в случае односвязных поверхностей, а затем и для двумерных поверхностей произвольного топологич. типа в евклидовом и римановом пространствй (см. [1] - [5]). Результаты о М. п. были распространены на случай решений более общих вариационных задач (обобщающих вариационную задачу для минимума поверхности), более общих дифференциальных уравнений (обобщающих уравнение Эйлера - Лагранжа для М. п.) и на случай более общего класса поверхностей (напр., с постоянной средней кривизной) (см. [3], [6], [7]).

Среди имеющихся результатов и ведущихся исследований по М. п. можно выделить несколько направлений.

1) Внутренняя геометрия М. п. Не для всякого риманова многообразия неположительной кривизны существует изометрич. погружение в евклидово пространство в виде нек-рой М. п. Критерий существования М. п. в E³ с данной метрикой заключается в следующей теореме Риччи: для того чтобы данная метрика ds² была изометрична метрике нек-рой М. п. в , необходимо и достаточно, чтобы ее кривизна Кбыла неотрицательна, а в точках, где , метрика была евклидова. На основании этого критерия удается охарактеризовать все изгибания М. п., удовлетворяющей условиям теоремы Риччи, в классе всех М. п. из . Прежде всего, имея в Е ⁿ М. д. F, заданную в изотермич. координатах ( и, v )гармонич. функциями - голоморфные функции, строят так наз. ассоциированные с Fи друг с другом М. п. F_a. с компонентами радиус-вектора Ассоциированные М. п. F_a все оказываются изометричными друг другу, а в случае n=3 их изгибания друг в друга при изменении a. обладают следующим характеристич. свойством: нормали к F_a в соответствующих по изометрии точках параллельны, причем изгибания М. п. в классе М. п. исчерпываются семейством ассоциированных с FМ. п.; напр., катеноид и геликоид - две ассоциированные (а значит, изометричные) М. п. с параметрами и Далее, по данной М. п. Fв можно построить изометричную ей М. п. с радиус-вектором а затем, отправляясь от G, строится нек-рое специальное двухпараметрич. семейство изометричных FМ. п. . В итоге оказывается, что если нек-рая М. и. удовлетворяет условиям теоремы Риччи, то существует М. п. , изометричная М, причем:

1) или и тогда она входит в семейство ассоциированных с FМ. п.; 2) или (и не принадлежит ) и она входит в упомянутое выше семейство

Однако уже в существуют М. п., метрики к-рых не удовлетворяют условиям теоремы Риччи. Поэтому возникает задача описания всех метрик, порождаемых двумерными М. п. в и изгибаний этих М. п.; эта задача также решена с достаточной полнотой в терминах нек-рых классов голоморфных отображений. Имеется также ряд результатов о внутренней характеристике метрик двумерных М. п. в сферах , (см. [8]).

Что касается метрик многомерных М. п., то здесь пока нет сколько-нибудь существенно продвинутых результатов, а вопросы единственности и изгибаний М. п. исчерпываются главным образом описанием возможных видов компактных минимальных подмногообразий п-мерной сферы. Изгибания М. п. на поверхности другого внешнего строения также изучены недостаточно полно даже для .

Другой круг проблем внутренней геометрии М. п. составляют изоперимстрич. неравенства, к-рые, впрочем, в наиболее точных и интересных формах зависят от внешнего строения М. п. (см. [9]).

2)Локальные свойства М. п. Сюда можно отнести результаты об аналитичности М. п. (само определение М. п. требует принадлежности ее лишь классу С ² )и решений ряда вариационных задач, утверждение о том, что достаточно малая область М. п. реализует абсолютный минимум площади среди всех поверхностей с той же границей, что и рассматриваемая область, теоремы об устранимости изолированных или маломощных особенностей решений уравнения М. п. и его обобщений, изучение строения обобщенных М. п. в окрестности их точек ветвления, исследования особенностей М. п. и решений так наз. эллиптических вариационных задач в многомерных евклидовых и рима-новых пространствах (см. [2], [3], [6], [10], [12]).

3) Изучение конкретных М. п. или М. п. при априори заданных свойствах края, плоских сечений, сферич. отображения и т. п. Напр., теорема о выпуклости горизонтальных сечений двусвязной М. п. с выпуклыми горизонтальными краями; теорема о совпадении с катеноидом полной М. п., расположенной между плоскостями и имеющей звездные сечения z=const; детальное изуче-ние классич. М. п.- Эннепера, Шерка, Римана - Шварца и др. Особо нужно отметить исследования минимальных конусов в приведшие к построению контрпримера для теоремы Бернштейна в , н к нахождению примера нерегулярного решения задачи Плато для гиперповерхностей в Конкретные примеры различных М. п. начались изучаться также и в многомерных римановых пространствах (см. [1], [2], [6], [12], [13]).

4) Развитие теории М. п. в по аналогии с функциями комплексного переменного в Здесь можно назвать результаты о граничных свойствах М. п.- теорема об аналитич. родолжении М. п. через регулярную аналитич. дугу границы, теоремы о гладкости М. п. в зависимости от гладкости ее границы (напр., если граница класса то М. п. принадлежит тому же классу); работы по построению для М. п. аналога теории Неванлинны о распределении значений мероморфных функций (см. [2], [6], [13]).

5) Работы об уравнении Эйлера - Лагранжа. Наряду с изучением "в целом" решений этого уравнения и его обобщения для n-мерных М. п.

(где -контравариантные компоненты метрич. тензора ), большое количество работ посвящено локальному поведению решений уравнения Эйлера - Лагранжа и его обобщения (2). Это - вопросы устранимости особенностей при коразмерностях k=1, существование нерегулярных решений при больших коразмерностях, и особенно - исследование задачи Дирихле. Эту задачу можно по-другому трактовать как задачу Плато по определению М. п. с заданным контуром и с дополнительным условием однозначной проектируемоеЩ М. п. на ту же плоскость, что и граничный контур. Такая трактовка позволяет во многих случаях получать выводы о задаче Дирихле на основании известных результатов о задаче Плато (напр., существование и единственность решения задачи Дирихле в Е ³ для случая выпуклой области Dполучается как следствие одной теоремы Радо о задаче Плато). В общем случае установлено, что для разрешимости задачи Дирихле в коразмерности 1 для любой непрерывной граничной функции необходимо и достаточно, чтобы вектор средней кривизны края дD был направлен внутрь области D(при n=2 это означает выпуклость области D);при этом решение задачи единственно. Что касается невыпуклых областей, то, напр., доказано, что для любой невыпуклой области Dс жордановой границей можно найти такую непрерывную функцию что для нее соответствующая задача Дирихле будет неразрешимой. В больших коразмерностях задача Дирихле может быть неразрешимой даже для случая, когда область совпадает с шаром в Е ⁿ.

Задача Дирихле рассматривалась также во внешности области D. Здесь получаются новые факты (напр., теряется единственность решения, не всегда получается разрешимость и т. д.). Имеются также результаты в случае постановки задачи Дирихле с неполными или частично неограниченными граничными значениями (см. [2], [6]-[8], [14]).

6) Полные М. п. Под полными М. п. понимаются М. п., полные как метрич. пространства относительно своей внутренней метрики. Полные М. п. бывают компактные (без границы) и некомпактные, или открытые. В исследованиях полных М. п. интерес направлен главным образом на изучение связей, существующих между глобальными метрич., геометрич. и топологич. свойствами поверхностей.

Наиболее продвинуто изучение двумерных полных М. п. в для к-рых большинство результатов получается применением методов теории функций комплексного переменного. В частности, показано существование в Е ³ полной М. п. любого заранее заданного рода g и связности k;получены теоремы о связях между интегральной кривизной и топологическим и конформным типами полной М. п. (напр.,- эйлерова характеристика поверхности, к - число компонент ее границы; если то поверхность Sконформно эквивалентна римановой поверхности с конечным числом выколотых точек, если полная М. п. S бесконечно связна или конформно гиперболич. типа, то ее интегральная кривизна бесконечна, и нормали к Sпринимают все направления бесконечное число раз, за возможным исключением множества направлений нулевой емкости, и т. д.); изучена структура сферич. отображения (напр., полная М. п. в Е ³ есть или плоскость, или ее сферич. образ не содержит, самое большее, множество емкости нуль, полная М. п. в Е ³,, является либо плоскостью, либо ее образ при обобщенном сферич. отображении пересекается со всюду плотным множеством гиперплоскостей, для любого в Е ³ существуют полные М. п., сферич. образ к-рых не содержит ровно пзаранее заданных точек, и т. д.); найдены поверхности, полностью определяемые их интегральной кривизной и топологич. типом (это катеноид и Эннепера поверхность);показана внешняя неограниченность в полных М. п. с ограниченной интегральной кривизной. Результаты о компактных М. п. относятся в основном к полным М. п., расположенным в сферах Интерес именно к этим М. п. объясняется, помимо трудностей случая общего риманова пространства, еще и наличием важных связей между минимальными конусами в Е ^п+1 и М. п. в Sⁿ (каждый гиперконус в Е ^п+1, определяемый своей вершиной Ои пересечением со сферой Sⁿ с центром в О, является минимальным тогда и только тогда, когда его пересечение с Sⁿ будет М. п. в Sⁿ). Исследуемые здесь вопросы в основном те же, что и для полных М. п. в Е ^п. Напр., показано, что любое компактное двумерное многообразие, за, исключением проективной плоскости, может быть реализовано в виде полной М. п. в S³;в S³ получен аналог теоремы Бернштейна: если нормали к полной М. п. лежат в открытой полусфере, то эта М. п. совпадает с экваториальной гиперсферой; найдены и другие признаки совпадения полной М. п. в Sⁿ с гиперсферой, исследованы возможные виды и вопросы единственности полных М. п. в Sⁿ в зависимости от величины их скалярной кривизны и т. д. (см. [2], [6], [8], [13]).

7) Построение различного рода обобщений М. п., а также уравнений и вариационных задач, решения к-рых сохраняют свойства М. п., здесь к классич. теории М. п. непосредственно примыкают работы о поверхностях с заданной средней кривизной, с квазиконформным сферич. отображением, работы о квазилинейных эллиптич. уравнениях со многими свойствами уравнения Эйлера - Лагранжа двух и большего числа переменных; более далекие обобщения сделаны в теориях, связывающих М. п. с множествами, минимизирующими интегральные потоки или различные меры Хаусдорфа, и т. п. (см. [2], [6], [7], [10], [11]).

8) Работы о задаче Плато для двумерных и многомерных М. п. (см. Плато задача, Плато многомерная задача).

Из приведенного перечня исследуемых задач и полученных результатов видно, что диапазон вопросов теории М. п. весьма велик, соответственно разнообразны и применяемые в ней методы. Если в классич. исследованиях в основном применялись методы дифференциальной геометрии, теории функций комплексного переменного и дифференциальных уравнении, то сейчас возрастает роль методов топологии, теории меры и функционального анализа, особенно в исследованиях М. п. в многомерных пространствах.

Лит.:[1] Курант Ф., Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, пер. с англ., М .,1953; [2] Nitsсhe J. С. С, Vorlesungen uber Minimalflachen, В.-[u. a.], 1975; [3] Rado Т., On the problem of Plateau, В., 1933; [4] Dоuglas J., "Trans. Amer. Math. Soc", 1931, v. 33, p. 263-321; [5] Mоrrеу С, "Ann. Math.", 1948, v. 49, p. 807- 851; [6] Hиче И. С. С, "Математика", 1967, т. 11, № 3, с. 37- 100; [7] Оссерман Р., "Успехи матем. наук", 1967, т. 22, в. 4, с. 55-136; [8] его же, "Математика", 1971, т. 15, № 2, с. 104-25; [9] его же, "Bull. Amer. Math. Soc", 1978, v. 84, №6, p. 1182-1238; [10] Pederer H., Geometric measure theory, B.-[u. a.], 1969; [11] Morrey C, Multiple integrals in the calculus of variations, В.-[u. a.], 1966; [12] Фоменко А. Т., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, № 5, с. 1049- 79; [13] Lawsоn H. "Ann. Math..", 1970, v. 92, № 2, p. 335-74; [14] Lawson H., Osserman R., "Acta math.", 1977, v. 139, № 1-2, p. 1 - 17; [15] Аминов Ю. А., "Укр. геом. сб.", 1976, в. 19, с. 3 - 9.

И. X. Сабитов,