ЛИ РАЗРЕШИМАЯ АЛГЕБРА

алгебра Ли над полем К, удовлетворяющая одному из следующих эквивалентных условий:

1) члены производного ряда для равны {0} при достаточно большом k;

2).существует конечная убывающая цепочка идеалов алгебры таких, что и (т. е. алгебры Ли - абелевы) для всех

3) существует конечная убывающая цепочка подалгебр таких, что - идеал в - одномерная (абелева) алгебра Ли для

Нильпотентная алгебра Ли разрешима. Если F={V_i}- полный флаг в конечномерном векторном пространстве Vнад К, то

есть разрешимая подалгебра в алгебре Ли всех линейных преобразований пространства V. Если в Vвыбрать базис, согласованный с флагом F, то в нем элементы алгебры представятся верхними треугольными матрицами; полученная матричная Ли р. а. обозначается t (n, К), где n=dim V.

Класс Ли р. а. замкнут относительно перехода к подалгебре, факторалгебре и расширению. В частности, любая подалгебра в t ( п, К).разрешима. Если char K=0 и поле Калгебраически замкнуто, то любая конечномерная Ли р. а. изоморфна подалгебре в t (n, К).при нек-ром п. Одним из основных свойств Ли р. а. является теорема Ли: пусть - Ли р. а. над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 и - ее конечномерное линейное представление. Тогда в Vсуществует такой полный флаг F, что В частности, если р неприводимо, то dim V=l. Идеалы алгебры можно выбрать образующими полный флаг, т. е. такими, что

Конечномерная алгебра Ли над полом характеристики 0 разрешима тогда и только тогда, когда алгебра нильпотентна. Другой критерий разрешимости (критерий Картана): алгебра разрешима тогда и только тогда, когда ортогонально всей относительно Киллинга формы (или любой билинейной формы, ассоциированной с точным конечномерным представлением алгебры ).

Ли р. а. впервые рассмотрел С. Ли (S. Lie) в связи с изучением разрешимых групп Ли преобразований. Изучение Ли р. а. приобрело большое значение после введения понятия радикала (т. е. наибольшего разрешимого идеала) произвольной конечномерной алгебры Ли и доказано, что в случае char K=0 алгебра является полупрямой суммой своего радикала и максимальной полупростой подалгебры (см. Леви,- Мальцева разложение). Это позволило свести задачу классификации произвольных алгебр Ли к перечислению полупростых (что для было сделано уже В. Киллингом) и разрешимых алгебр. Классификация же Ли р. а. проведена (для ) лишь в размерностях

Если - разрешимая алгебраич. подалгебра в где V - конечномерное пространство над полем Кхарактеристики 0, то разлагается в полупрямое произведение нильпотентного идеала, образуемого всеми нильпотентными преобразованиями из и нек-рой абелевой подалгебры, состоящей из полупростых преобразований [6]. Аналогичное строение имеет вообще любая расщепляемая Ли р. а., т. е. конечномерная Ли р. а. над K, каждый элемент хк-рой разлагается. <в сумму x=s+n, где s, [s, n] = 0, sполупрост, а пнильпотентен [8]. Каждой конечномерной Ли р. а. над Коднозначно сопоставляется минимальная содержащая ее расщепляемая Ли р. а. (расщепление Мальцева). Решена [8] также задача классификации Ли р. а., имеющих заданное расщепление Мальцева. Таким образом, задача классификации Ли р. а. сводится, в известном смысле, к изучению нильпотентных алгебр Ли.

Кроме радикала, в произвольной конечномерной алгебре Ли выделяют максимальные разрешимые подалгебры. Если К - алгебраически замкнутое поле характеристики 0, то все такие подалгебры в (они иаз. борелевскими) сопряжены. Напр., t(n, К).является борелевской подалгеброй в алгебре Ли всех матриц порядка n. Если Кне является алгебраически замкнутым или char K конечна, то теорема Ли, вообще говоря, не верна. Однако она распространяется на случай, когда Ксовершенно и содержит характеристич. корни всех Если это условие выполнено для присоединенного представления Ли p. a. то наз. треугольной. На треугольные алгебры Ли переносятся многие свойства Ли р. а. над алгебраически замкнутым полем. В частности, если char К=0, то все максимальные треугольные подалгебры в произвольной конечномерной алгебре Ли сопряжены (см. [1], [7]). Максимальные треугольные подалгебры используются при изучении полупростых алгебр Ли над алгебраически незамкнутым полем в качестве хорошего аналога борелевских подалгебр. Они играют также основную роль в описании связных равномерных подгрупп в группах Ли [9].

Лит.:[1] Б о р е л ь А., Титс Ж., "Математика", 1967, т. 11, № 1, с. 43-111; [2] Б у р б а к и Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [3] Джекобсон Н., Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [4] Б о р е л ь А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972: [5] С е р р Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [6] Ш е в а л л е К., Теория групп Ли, пер. с франц., т. 3, М., 1958; [7] В и н б e р г Э. Б., "Докл. АН СССР", 1961, т. 141, с. 270 - 73; [8] Мальцев А. И., Избр. труды, т. 1, М., 1976, с. 155-76; [9] О н и щ и к А. Л., "Матем. сб.", 1967, т. 74, с. 308-416.

В. В. Горбацевич.