НИЛЬПОТЕНТНАЯ АЛГЕБРА

- алгебра, для к-рой существует такое натуральное число n, что любое произведение пэлементов алгебры равно нулю. Если при этом существует произведение п-1 элементов, не равное нулю, то пназ. индексом нильпотентности Н. а.

Примерами Н. а. являются: алгебры с нулевым умножением, алгебра строго верхнетреугольных матриц, прямые суммы Н. а., индексы нильпотентности к-рых ограничены в совокупности, тензорное произведение двух алгебр, из к-рых одна нильпотентна.

Класс Н. а. замкнут относительно взятия гомоморфных образов и перехода к подалгебрам. В ассоциативной алгебре сумма конечного числа нильпотентных идеалов является нильпотентным идеалом, а сумма произвольного множества нильпотентных идеалов является, вообще говоря, локально нильпотентным идеалом. Конечномерная алгебра над полем нулевой характеристики, обладающая базисом, состоящим из нильпотентных элементов, нильпотентна. Если алгебра удовлетворяет полиномиальному тождеству степени d, то всякое ее нильпотентное подкольцо в степени [d/2]принадлежит сумме нильпотентных идеалов. Производная алгебра конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики нильпотентна. Нильпотентные" подалгебры, совпадающие со своим нормализатором (подалгебры Картана), играют существенную роль в классификации простых алгебр Ли конечной размерности. Н. а. Ли обладает внешним автоморфизмом. Алгебра Ли с регулярным автоморфизмом (т. е. автоморфизмом, не имеющим неподвижных элементов, кроме нулевого) простого периода нильпотентна.

Лит.:[1] Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [2] его же, Алгебры Ли, пер. с англ., М., 1964; [3] Albert A. A., Structure of algebras, [3 ed.], Providence, [1968]; [4] Jacobson N., "Proc. Amer. Math. Soc", 1955, v. 6, № 2, p. 281-83; [5] Higman G., "J. Lond. Math. Soc", 1957, v. 32, № 3, p. 321-34.

В. Н. Латышев.