ИНДУКТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ


ИНДУКТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ

- конструкция, к-рая впервые появилась в теории множеств, а затем стала широко использоваться в алгебре, топологии и других областях математики. Важный частный случай И. п.- это И. п. направленного семейства однотипных математических структур. Пусть С- направленное по возрастанию предупорядоченное множество, т. е. в Сзадано рефлексивное и транзитивное отношение и для любых элементов a, найдется такой элемент что и И пусть каждому сопоставлена некоторая структура А a. (для определенности можно считать, что А a.- группы) и при заданы гомоморфизмы jab : удовлетворяющие двум условиям: для любого и для любых из С. На множестве вводится отношение эквивалентности : элемент эквивалентен элементу , если xjag=yjbg. для некоторого у. Фактормножество можно снабдить структурой группы: если и то произведением классов эквивалентности с представителями хи усчитается класс эквивалентности с представителем Построенная группа Аназ. И. п. семейства групп А a. Для каждого существует естественный гомоморфизм ja : который элементу сопоставляет его класс эквивалентности. Группа А, вместе с гомоморфизмами ja, обладает следующим универсальным свойством: для любой системы гомоморфизмов ya : для которой при существует такой единственный гомоморфизм y : что для любого

Обобщением данной конструкции И. п. является индуктивный предел (прямой предел, копредел) функтора. Объект Акатегории наз. индуктивным пределом ковариантного функтора F:если:

1. существуют такие морфизмы jD : где что для любого морфизма а : из

2. для любого семейства морфизмов yD : где для к-рого при любом a.: DD1 из существует такой единственный морфизм у: что

И. п. обозначается или или И. п. контравариантного функтора

F:определяется как индуктивный предел ковариантного функтора F* из двойственной к категории D* в категорию

Всякое предупорядоченное множество С можно рассматривать как категорию, объектами к-рой являются элементы множества С, а морфпзмами - всевозможные пары (a, b), где а, ис очевидным законом композиции. В произвольной категории Псемейство объектов А a, . и морфпзмов jab : где можно рассматривать как образ функтора

F: если и при

Если - категория множеств (групп, топологич. пространств и т. п.), то И. п. функтора F:С->p совпадает с приведенной выше конструкцией индуктивного предела.

Если - малая дискретная категория, то И. п. любого функтора Fиз в произвольную категорию есть копроизведение объектов F(D),В частности, если категория пуста, то И. п. есть левый нуль, или инициальный объект категории Коядра пар морфизмов любой категории являются И. п. функторов со значениями в к-рые определены на категории с двумя объектами X и Y и четырьмя морфизмами 1X, 1Y и a, b:

Всякий ковариантный функтор Fиз произвольной малой категории в категорию обладает И. п. тогда и только тогда, когда - категория с копроизведениями и коядрами пар морфизмов.

Лит.:[1] Александров П. С, Топологические теоремы двойственности, ч. 1, М., 1955 (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 48); [2] Бунур И., Деляну А., Введение в теорию категорий и функторов, пер. с англ., М., 1972; [2] Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974.

М. Ш. Цаленко.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНДУКТИВНЫЙ ПРЕДЕЛ" в других словарях:

  • ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВО — пространство, сопряженное к пространству основных (достаточно хороших) функций. Важную роль здесь играют Фреше пространства (типа FS )и сильно сопряженные к ним (типа DFS). Пространство типа FS есть проективный предел компактной… …   Математическая энциклопедия

  • Идеал (алгебра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Идеал (значения). Идеал одно из основных понятий абстрактной алгебры. Наибольшее значение идеалы имеют в теории колец, но также определяются и для полугрупп, алгебр и некоторых других… …   Википедия

  • Функциональный анализ (математ.) — Функциональный анализ, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов… …   Большая советская энциклопедия

  • ЯДЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпуклое пространство, у к рого все линейные непрерывные отображения в каждое банахово пространство являются ядерными операторами. Понятие Я. п. возникло [1] при исследовании вопроса о том, для каких пространств справедливы аналоги… …   Математическая энциклопедия

  • БОЧЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпуклое линейное топология, пространство, обладающее рядом свойств банаховых пространств и Фреше пространств без предположения о метризуемости; это один из наиболее широких классов пространств, в к рых справедлива Банаха Штейнхауза… …   Математическая энциклопедия

  • ГЕНЗЕЛЕВО КОЛЬЦО — коммутативное локальное кольцо, для к рого выполняется Гензеля лемма, или, в другом определении, для к рого выполняется теорема о неявной функции. Для локального кольца А с максимальным идеалом последнее означает, что для любого унитарного… …   Математическая энциклопедия

  • p-ДЕЛИМАЯ ГРУППА, — группа Барсотти Тейта, обобщение понятия коммутативной формальной группы. Гомоморфизм, индуцируемый умножением на простое число р, является эпиморфизмом, для р Д. г. Пусть S схема, р простое число; р делимой. группой высоты hназ. индуктивная… …   Математическая энциклопедия

  • ИНФРАБОЧЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО — локально выпуклое линейное топологич. пространство, в к ром каждая бочка (т. е. поглощающее выпуклое замкнутое уравновешенное множество), поглощающая любое ограниченное множество, является окрестностью нуля. Важный класс И. п. доставляют бочечные …   Математическая энциклопедия

  • КВАЗИЦИКЛИЧЕСКАЯ ГРУППА — группа типа бесконечная абелева р группа, все собственные подгруппы к рой циклические. Для каждого простого рсуществует едийственная с точностью до изоморфизма К. г. Эта группа изоморфна мультипликативной группе всех корней уравнений в поле… …   Математическая энциклопедия

  • КОГОМОЛОГИИ — термин, употребляемый по отношению к функторам гомологической природы, которые, в отличие от гомологии, как правило, контравариантно зависят от объектов основной категории, на которой они определены. В отличие от гомологии, связывающие… …   Математическая энциклопедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.