КОГОМОЛОГИИ

- термин, употребляемый по отношению к функторам гомологической природы, которые, в отличие от гомологии, как правило, контравариантно зависят от объектов основной категории, на которой они определены. В отличие от гомологии, связывающие гомоморфизмы в когомологической точной последовательности повышают размерность. В типичных ситуациях когомологии возникают одновременно с соответствующими гомологиями.

Е. Г. Скляренко.

Когомологии топологического пространства - градуированная группа

которая ставится в соответствие топологич. пространству и абелевой группе G. Понятие К. двойственно понятию гомологии (см. Гомологии теория, Гомологии группа, Александрова- Чеха гомологии и когомологии). Если G- кольцо, то в группе Н*(X, G )определено естественное умножение (произведение Колмогорова - Алекса н дера или U-п роизведение), превращающее эту группу в градуированное кольцо (кольцокогомологий). В случае, когда X- дифференцируемое многообразие, кольцо когомологий Н*(X, R )может быть вычислено при помощи дифференциальных форм на X(см. де Рама теорема).

Когомологий со значениями в пучке абелевых групп - обобщение обычных когомологий топологич. пространств. Имеются две теории когомологий со значениями (или с коэффициентами) в пучках абелевых групп: когомологий Чеха и когомологий Гротендика.

Когомологий Чеха. Пусть X- топологич. пространство, - пучок абелевых групп на X, - открытое покрытие пространства X.n-мерной коцепью покрытия наз. отображение f, к-рое всякому упорядоченному набору такому, что

сопоставляет сечение f_i0...in пучка Fнад U_i0...in . Множество всех re-мерных коцепей является абелевой группой относительно сложения. Кограничный оператор

определяется следующим образом:

где символ означает, что соответствующий индекс опускается.

Последовательность

является комплексом (комплекс Чеха). Когомологий этого комплекса обозначаются и наз. когомологиями Чеха покрытия со значениями в Группа совпадает с группой сечений пучка F. При вычислении этих когомологий комплекс Чеха можно заменить его подкомплексом, состоящим из альтернированных коцепей, т. е. коцепей, меняющих знак при перестановке двух индексов и равных 0 в случае, когда два индекса совпадают.

Если покрытие вписано в т. е. для каждого указано так, что то определен канонический гомоморфизм Н ^п Н ^п ( ), не зависящий от вписывания т. n-мерная группа когомологий Чеха пространства Xсо значениями в определяется формулой:

где индуктивный предел берется по направленному (по отношению вписанности) множеству классов открытых покрытий (два покрытия эквивалентны тогда и только тогда, когда каждое из них можно вписать в другое). Определение когомологий Чеха применимо и к предпучкам.

Недостатком когомологий Чеха является то, что они (для непаракомпактных пространств) не образуют когомологич. функтора (см. Гомологический функтор). В случае, когда - постоянный пучок, соответствующий абелевой группе группы совпадают с когомологиями Александрова - Чеха с коэффициентами в группе

Когомологии Гротеидика. Рассматривается функтор из категории пучков абелевых групп на Xв категорию абелевых групп. Правые производные этого функтора наз. n-мерными группами когомологий Гротендика со значениями впучке и обозначаются n=0, 1,... . Точной последовательности пучков абелевых групп

соответствует точная последовательность

т. е. образуют когомологич. функтор. При этом Если- вя лый пучок, то Эти три свойства когомологий Гротендика характеризуют функтор однозначно с точностью до изоморфизма.

Для вычисления когомологий Гротендика пучка можно воспользоваться левой резольвентой пучка состоящей из пучков, когомологий Гротендика к-рых равны 0 в положительных размерностях. Напр., на произвольных топологич. пространствах можно взять резольвенту из вялых пучков, а на паракомпактных пространствах - из мягкий пучков или из тонких пучков.

Когомологий Гротендика связаны с когомологиями покрытий следующим образом. Пусть -открытое покрытие пространства X. Тогда существует спектральная последовательность сходящаяся к и такая, что где - предпучок, сопоставляющий открытому множеству группу Если когомологий всех со значениями в равны 0 в положительных размерностях, то последовательность вырождается и (теорема Лере). В общем случае спектральная последовательность определяет функторный гомоморфизм и, после перехода к пределу,- функторный гомоморфизм

Последний гомоморфизм биективен для n=0, 1, инъективен (но, вообще говоря, не сюръективен) для n=2 и биективен для всех п, если Xпаракомпактно. Таким образом, для паракомпактного пространства X

Обобщением определенных выше групп когомологий являются группы когомологий с носителями в семействе Ф. Семейство Ф замкнутых подмножеств пространства Xназ. семейством носителей, если 1) замкнутое подмножество любого множества из Ф принадлежит Ф; 2) объединение любых двух подмножеств из Ф лежит в Ф. Группы определяются как правые производные функтора где Г _Ф (Х, - группа сечений пучка носители к-рых лежат в Ф. Они образуют когомологич. функтор.

Если Ф - семейство всех замкнутых множеств, то Другой важный частный случай: Ф = с - семейство всех компактных подмножеств. Группы наз. группами когомоло-

гий с компактными носителями. В случае, когда F- пучок колец, в группе

естественным образом определяется умножение, превращающее ее в градуированное кольцо (кольцо когомологий). При этом ассоциативность в пучке влечет за собой ассоциативность умножения в Н*(X, а пучок коммутативных колец или колец Ли приводит к градуированно-коммутативному кольцу или градуированному кольцу Ли когомологий соответственно. Если - пучок модулей над пучком колец то являются модулями над кольцом О когомологиях со значениями в пучке неабелевых групп см. Неабелевы когомологий.

Лит.:[1] Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [2] Годеман Р., Алгебраическая топология и теория пучков, пер. с франц., М., 1961; [3] Серр Ж.-П., в сб.: Расслоенные пространства, М., 1958, с. 372-450.

Д. А. Пономарев.

Когомологий пространства с операторами - когомологические инварианты топологич. пространства с заданным на нем действием группы. Пусть группа G действует на пространстве X, причем для каждого отображение является гомеоморфизмом тогда G-пучком абелевых групп на X наз. пучок абелевых групп на Xвместе с заданным на нем действием группы G, к-рое непрерывно, согласовано с действием на Xи изоморфно отображает слои пучка друг на друга. В группе сечений G-пучка (и вообще в группах когомологий определена естественная структура G-модуля. G-пучки абелевых групп на Xобразуют абелову категорию, всякий объект к-рой вкладывается в инъективный объект. Функтор из этой категории в категорию абелевых групп, где - группа G-инвариантных сечений G-пучка обладает правыми производными

функторами (n=0, 1, 2, ...), где

составляющими когомологич. функтор. Группы играют основную роль в изучении связи между когомологиями пространства X, факторпространства Y= X/G и группы G. Существует спектральная последовательность { Е _r}со вторым членом сходящаяся к Пусть - пучок инвариантов прямого образа - естественная проекция), рассматриваемого как G-пучок на пространстве Y, на к-ром G действует тривиально. Если Gдействует на Xсобственно разрывно (см. Дискретная группа преобразований) и свободно, то (см. [1]). В частности, если А- некоторый G-модуль, то постоянный пучок на Xобладает естественной структурой G-пучка, а пучок на Yбудет локально постоянным. В этом случае спектральная последовательность {Е _r} удовлетворяет условию и сходится к (спектральная последовательность накрытия). Если при этом Xсвязно и Н ^q( Х, А)=0 для q>0, то что дает топологич. интерпретацию когомологий группы G [2]. Если G собственно разрывна и Yпаракомпактно, то группы можно вычислять аналогично когомологиям Чеха при помощи G-инвариантных покрытий пространства X(см. [1]).

В случае, когда G - группа Ли, дифференцируемо и свободно действующая на дифференцируемом многообразии X, причем X/G- дифференцируемое многообразие, известен аналог {Е _r} спектральной последовательности накрытия [3]. Последовательность сходится к когомологиям комплекса G-инвариантных дифференциальных форм на X и =где когомологии группы Gвычисляются при помощи коцепей класса

См. также Когомологии групп, Эквиеариаптные когомологии.

Лит.:[1]Гротендик А., О некоторых вопросах гомологической алгебры, пер. с франц., М., 1961; [2] Картан А., Эйленберг С., Гомологическая алгебра, пер. с англ., М., 1960; [3] van Est W. Т., "Proc. Nederl. Akad. Wetensch. Ser. A", 1958, v. 61, p. 399-413.

А. Л. Онищик, Д. А. Пономарев.