ИНДУКТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ

- определение какого-либо понятия А(n), зависящего от неотрицательного целого параметра п, протекающее по следующей схеме: а) задается значение А(0); б) задается правило по лучения, значения А(n+1) по пи по значению (п). Типичным И. о. является определение функции п!:а) 0! = 1; б) (n+1)! =n!(n+1). Более общим И. о. является определение по трансфинитной индукции, с помощью к-рого вводится какое-либо понятие А(a), зависящее от ординального (трансфинитного) числа a. Такое определение осуществляется заданием нек-рого правила, позволяющего получать значение А(a) по известным значениям А(Р) для всех b<a. Напр., сумма g+aординалов gи aопределяется так:

Другим расширением понятия И. о. является так наз. обобщенное И. <о., к-рым задается класс каких-либо объектов. Оно протекает по следующей схеме: 1) задаются нек-рые (исходные) объекты определяемого класса; 2) задаются нек-рые правила, позволяющие из уже определенных объектов получать другие объекты определяемого класса; 3) объектами определяемого класса являются только те, к-рые получены согласно пп. 1) и 2) этого определения (этот пункт всегда подразумевается и поэтому часто опускается). Примером обобщенного И. о. является определение понятия теоремы для данной аксиоматич. системы S:всякая аксиома системы Sявляется теоремой; если посылки какого-нибудь правила вывода системы S- теоремы, то заключение этого правила вывода также является теоремой.

Чтобы доказать, что любой объект из класса, заданного нек-рым обобщенным И. о., напр, всякая теорема какой-нибудь аксиоматич. системы S, обладает нек-рым свойством Р, достаточно показать следующее: всякая аксиома системы Sобладает свойством Р;если посылки какого-нибудь правила вывода обладают свойством Р, то заключение этого правила вывода также обладает свойством Р. Доказательства такого рода наз. доказательствами индукцией по определению соответствующего понятия (в данном примере- теоремы) или по построению соответствующего объекта, в зависимости от контекста.

Лит.: [1] Шенфилд Д ж., Математическая логика, пер. с англ., М., 1975; [2] Куратовский К., Мостовский А., Теория множеств, пер. с англ., М., 1970.

С. К. Соболев.