ИНДУКЦИИ АКСИОМА


ИНДУКЦИИ АКСИОМА

- утверждение о справедливости для всех хнек-рого предиката Р(х), определенного на множестве всех неотрицательных целых чисел, если выполняются следующие условия: 1) справедливо Р(0),2) для любого х, если верно Р(х), то верно и P(x+1). И. а. записывается в виде

В применениях И. а. Р(х)наз. индукционным предикатом, или индукционным предложением, а х- индукционной переменной, или переменной, по к-рой производится индукция (в тех случаях, когда Р(х)содержит, кроме х, и другие параметры). При этом проверка выполненности условия 1) наз. базисом индукции, а проверка условия 2) - индукционным шагом. Допущение внутри 2) справедливости Р(х), из к-рого затем выводится P(x+i), наз. индуктивным предположением.

Принципом (математической) индукции в содержательной математике наз. схема всех И. а. для всевозможных предикатов Р(х). В системе FA арифметики формальной схема индукции состоит лишь из тех И. а., к-рые соответствуют выразимым в FA предикатам (таких предикатов счетное множество). Этим обстоятельством, т. е. невозможностью выразить в FA индукцию в полном объеме, объясняется неполнота системы FA (см. Гёделя теорема о неполноте).

Иногда вместо И. а. рассматривается аксиома: пусть Р(х)- некоторое свойство неотрицательных целых чисел; если для любого хиз допущения, что Р(у)верно для всех у, меньших х, следует, что верно и Р(х), то Р(х)справедливо для всех х, т. е.

Эта аксиома носит название полной, или возвратной, И. а. Принцип полной индукции эквивалентен принципу обычной индукции. См. также Транс финитная индукция.

Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957.

С. К. Соболев.


Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. . 1977—1985.

Смотреть что такое "ИНДУКЦИИ АКСИОМА" в других словарях:

  • Аксиома — В Викисловаре есть статья «аксиома» Аксиома (др. греч …   Википедия

  • Аксиома выбора — Аксиомой выбора называется следующее высказывание теории множеств: «Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует (по меньшей мере одно) множество , которое имеет только один общий элемент c каждым из множеств данного… …   Википедия

  • Аксиома существования минимума — Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Аксиома сущ …   Википедия

  • Аксиома индукции — …   Википедия

  • Аксиома полной индукции — …   Википедия

  • Метод математической индукции — Математическая индукция в математике один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 база индукции, а затем… …   Википедия

  • Принцип математической индукции — Математическая индукция в математике один из методов доказательства. Используется, чтобы доказать истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 база индукции, а затем… …   Википедия

  • Метод индукции — Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не столько через законы логики, а скорее через некоторые… …   Википедия

  • ОБРЫВА ЦЕПЕЙ УСЛОВИЕ — условие конечности возрастающих или убывающих цепей в частично упорядоченном множестве. Условие обрыва убывающих цепей: для всякой цепи элементов частично упорядоченного множества Р найдется такой номер и, что Выполнение этого условия… …   Математическая энциклопедия

  • Лемма Цорна — Аксиомой выбора (Axiom of choice) называется следующее высказывание теории множеств: Аксиома выбора утверждает: «Для каждого семейства непустых непересекающихся множеств существует [по меньшей мере одно] множество , которое имеет только один… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»

We are using cookies for the best presentation of our site. Continuing to use this site, you agree with this.