КОПРОИЗВЕДЕНИЕ

семейства объектов категории - понятие, описывающее на языке морфизмов конструкции прямой суммы модулей или разъединенного объединения (букета) множеств. Пусть A_i, i ОI -индексированное семейство объектов категории M. Объект S, вместе с морфизмами s_i : А _i-> S, наз. копроизведением семейства А _i, i ОI, если для всякого семейства морфизмов a_i : А _i-> X, i ОI, существует такой единственный морфизм a: S->X, что s_ia=a_i, i ОI. Морфизмы s_i наз! вложениями копроизведения; К. обозначается П*_{i ОI} А _i(s_i) или П*_{i ОI} А _i, или S=A₁*...*А _п в случае I={1, ..., n}. Морфизм a, входящий в определение К., иногда обозначается П*_{i ОI} А _i или (*)_{i ОI} А _ia_i. К. семейства объектов определено однозначно с точностью до изоморфизма, оно ассоциативно и коммутативно. Понятие К. двойственно понятию произведения.

К. пустого семейства объектов является левым нулем (инициальным объектом) категории. В абелевой категории К. часто наз. прямой суммой семейства объектов А _i, i ОI, и обозначается е _{i ОI} А _i или А ₁+...+ А _n в случае I= {1,... , п}. В большинстве категорий структуризованных множеств К. семейства объектов совпадает со свободным произведением этого семейства и, как правило, требует специального описания. Так, в категории групп К. - это свободное произведение групп, в категориях модулей - прямая сумма модулей и т. д.

В категории с нулевыми морфизмами для К. S= П*_{i ОI} А _i(s_i) существуют такие однозначно определенные морфизмы p_i : S-> А _i, что s_ip_i=1_A, s_ip_j=0. В абелевой категории К. и произведение конечного семейства объектов совпадают.

Лит.:[1] Ц а л е н к о М. Ш., Шульгейфер Е. Г., Основы теории категорий, М., 1974. М. Ш. Доленко.