СМЕШАННЫХ ОБЪЕМОВ ТЕОРИЯ

раздел теории выпуклых тел, изучающий функционалы, возникающие при рассмотрении линейных комбинаций тел (см. Сложение множеств).
Объем Vлинейной комбинации выпуклых тел К _i в евклидовом пространстве с коэффициентами является однородным многочленом степени потносительно

Коэффициенты V_i1....in предполагаются симметричными относительно перестановок индексов и обозначаются V( К _i1,. . ., К _in), поскольку они зависят только от тел К _i1,. . ., К _in; эти коэффициенты наз. смешанными объемами (с. о.) тел К _i1, . . ., К _in
Значение С. о. т. связано с универсальностью понятия с. о.: при подстановке в V( К, К₁,..., K_n-1) конкретных тел К ₁,..., K_n-1 получаются многие величины, связанные с телом К. В их числе: объем, площадь поверхности, интеграл по поверхности от элементарной симметрич. функции главных кривизн (в случае C² -гладкого тела), а также соответствующие характеристики проекции тела на i-мерную плоскость, 0<i<n. Частным случаем разложения (*) является разложениe Штейнера для объемов параллельных тел в

где V - объем, S - площадь поверхности, В - интегральная средняя кривизна исходного тела, - объем его -окрестности. С. о. V( К ₁,. . ., К _п )инвариантен относительно параллельных переносов любого тела К _i, монотонен (по включению тел), непрерывен и неотрицателен;V( К _1, . . ., К _п)>0тогда и только тогда, когда в каждом К _i можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейнонезависимы (см. [1]). Если К' - проекция Кна гиперплоскость, ортогональную единичному отрезку е, то

Объем проекции тела Кна р-мерное подпространство наз. р-й внешней поперечной мерой. Соотношения между средними значениями W_p (К)этих мер - один из объектов интегральной геометрии. Функционалы W_p(K)с точностью до множителя совпадают с р-ми интегралами кривизны:

где U - единичный шар. Для С ² -гладких строго выпуклых тел с. о. V_p(K),0<р<n, равен интегралу от р-й элементарной симметрич. функции D_p главных радиусов кривизны, рассматриваемой как функция нормали на сфере S^n-1. В случае общих выпуклых тел V_p(K) есть полное значение определяемой ниже меры на S^n-l, называемой функцией кривизны. (В гладком случае D_p есть плотность Подобно тому как объем тела Кесть интеграла от его опорной функции К (и)по его поверхностной функции, т. е. по площади поверхности, перенесенной на S^n-1 сферическим отображением, так и с. о. n тел представим интегралом от опорной функции К ₁ (и)одного из них по нек-рой мере на S^n-1, зависящей от остальных тeл и называемой смешанной поверхностной функцией тел К ₂,. . ., K_n:

Функция кривизны определяется равенством

Основным содержанием С. о. т. являются неравенства между с. о. (см. [2], [3]). В их числе - неравенство Минковского

и квадратичное неравенство Минковского

Эти неравенства тесно связаны с Брунна - Минковского теоремой, справедливой не только для выпуклых тел. Обобщает эти неравенства Александрова - Фенхеля неравенство, допускающее следующую модификацию (см. [2]):

В частности,

Полная система неравенств, характеризующая с. о. V(K₁,..., К _п), получена для двух тел, в связи с этим установлены нек-рые более общие неравенства (см. 14])
Многие геометрич. неравенства, напр. изопериметрическое неравенство классическое и ряд его уточнений, являются для выпуклых тел частными случаями неравенств для с. о.; экстремум одного из функционалов V_p(K)при фиксации другого из них достигается для шара. Неравенства С. о. т. использованы при доказательстве единственности решения обобщенной проблемы Минковского (см. [2]), устойчивости в проблемах Минковского (см. [5]) и Вейля (см. [6]), при решении проблемы Ван дер Вардена о перманенте (см. [7]). Бесконечномерный аналог понятий С. о. т. нашел применение в теории гауссовских случайных процессов (см. [7]).
С. о. т. оказалась глубоко связанной с алгебраич. геометрией. Многочлену f(z_1;. . ., z_n) от пкомплексных переменных сопоставляют многогранник Ньютона Для этого каждому одночлену входящему в f с ненулевым коэффициентом, сопоставляется точка многогранник есть выпуклая ооолочка этих точек. Типичное число решений системы полиномиальных уравнений f₁=. . .=f_n=0 равно деленному на п! с. о. многогранника Эта связь позволила, в частности, дать алгебраич. доказательство неравенства Александрова - Фенхеля (см. [10]).
В С. о. т. выпуклое тело отождествляют с его опорной функцией; допускается распространение на разности этих функций, а затем - на произвольные непрерывные функции на сфере (см. [2], [9]). Из аналогичного разложения для вектора центра тяжести тела умноженного на объем этого тела, определяются т. <н. смешанные направляющие векторы, являющиеся векторным аналогом смешанных объемов. Центры тяжести функций кривизны тела Кс точностью до постоянного множителя совпадают со смешанными направляющими векторами Ки шара U(см. [11])

Лит.:[1] Minkowski H., Gesam. Abh., Bd 2, Lpz.- В., 1911; [2] Александров А. Д., лМатем. сб.