ПЛОЩАДЬ

- численная характеристика, приписываемая плоским фигурам определенного класса (напр., многоугольникам) и обладающая следующими свойствами: 1) П. неотрицательна; 2) П. аддитивна (в случае многоугольников это означает, что если фигура составлена из фигур Ри Q, не имеющих общих внутренних точек, то пл. () = пл. Р+пл. Q;3) П. сохраняется при перемещениях; 4) П. единичного квадрата равна 1. Термин "П." употребляется также в более широком смысле как численная характеристика, сопоставляемая двумерным поверхностям в трехмерном пространстве; k-мерным поверхностям в n-мерном евклидовом или римановом пространстве; границам множеств и др. объектам, см. ниже.

Площадь плоской фигуры. Исторически П. определялась сначала на классе многоугольников (фигур, допускающих разбиение на конечное число треугольников без общих внутренних точек). Существенно, что на классе многоугольников П. со свойствами 1) - 4) существует и единственна (см. [1], [2]). Одним из следствий свойств 1) - 4) является то, что П. всей фигуры не меньше П. ее части.

В древности существование и единственность П. со свойствами 1) - 4) принимались без ясного описания класса рассматриваемых фигур; внимание сосредоточивалось на приемах вычисления П. Формула для П. прямоугольника, в том числе с иррациональными сторонами, обосновывалась исчерпывания методом. П. треугольника и произвольных многоугольников вычислялась как П. равносоставленного с ними прямоугольника. Доказано, что любые многоугольники равной П. равносоставлены (см. [2]).

Затем был выделен класс квадрируемых (измеримых по Жордану) фигур. Фигура Мна плоскости наз. квадрируемой, если для любого e>0 существуют такие многоугольные фигуры Ри Q, что и (пл. Q - пл. Р)<e. Класс квадрируемых фигур весьма богат. Он включает, в частности, все ограниченные плоские области с кусочно гладкими границами. Но есть и неквадрируемые плоские фигуры. На классе квадрируемых фигур также существует и единственна П. со свойствами 1) - 4) (см. [2]).

Исторически до рассмотрения класса квадрируемых фигур умели вычислять П. нек-рых из них - круга, кругового сектора и сегмента, различного рода лунок, криволинейных трапеций. Эти вычисления обосновывались методом исчерпывания многоугольниками. В ряде случаев для обоснования таких вычислений привлекался Кавальери принцип, состоящий в том, что если две плоские фигуры указанного типа пересекаются каждой прямой, параллельной фиксированной прямой, по отрезкам одинаковой длины, то эти фигуры имеют равную П. Средства интегрального исчисления (см., напр., [3]) дают удобные приемы для вычисления П. любых плоских областей с кусочно гладкими границами. Эти средства обосновывают также принцип Кавальери.

Стремление распространить понятие П. на более общие плоские множества с сохранением свойств 1) - 4) ведет к теории меры, к выделению класса плоских множеств, измеримых по Лебегу. Переход к еще более общим классам множеств на плоскости приводит уже к неединственным мерам со свойствами 1) - 4).

Ориентированная площадь. Если на ориентированной плоскости расположена направленная замкнутая кривая I, быть может с самопересечениями и налеганиями, то для каждой не лежащей на l точки плоскости определена целочисленная функция (положительная, отрицательная или нулевая), наз. степенью точки относительно I. Она показывает сколько раз и в какую сторону контур lобходит данную точку. Интеграл по всей плоскости от этой функции, если он существует, наз. охватываемой lориентированной П. Последняя, в отличие от обычной П., имеет знак. О простейших свойствах ориентируемой П. см. [4].

Площадь поверхности. Проще всего определяется П. многогранных поверхностей: как сумма П. плоских граней. Попытка ввести понятие П. кривых поверхностей как предела П. вписанных многогранных поверхностей (подобно тому, как длина кривой определяется как предел вписанных ломаных) встречает трудность. Даже для весьма простой кривой поверхности П. вписанных в нее многогранников со все более мелкими гранями может иметь разные пределы в зависимости от выбора последовательности многогранников. Это наглядно демонстрирует известный пример Шварца, в к-ром последовательности вписанных многогранников с разными пределами П. строятся для боковой поверхности прямого кругового цилиндра (см. [2]).

Чаще всего П. поверхности определяют для класса кусочно гладких поверхностей с кусочно гладким краем (или без края). Обычно это делают с помощью следующей конструкции. Поверхность разбивают на мелкие части с кусочно гладкими границами: в каждой части выбирают точку, в к-рой существует касательная плоскость, и ортогонально проектируют рассматриваемую часть на касательную плоскость поверхности в выбранной точке; П. полученных плоских проекций суммируют; наконец, переходят к пределу при все более мелких разбиениях (таких, что наибольший из диаметров частей разбиения стремится к нулю). На указанном классе поверхностей этот предел всегда существует, и если поверхность задана параметрически кусочно С ¹ -гладкой функцией r( и, v), где параметры и, v изменяются в области Dна плоскости ( и, v), то площадь Fвыражается двойным интегралом

(1)

где g₁₁=r²_u, g₁₂=r_ur_v g₂₂=r²_v, а r_u и r_v - частные производные по ии v. Доказательство см., напр., в [3], [5]. В частности, если поверхность есть график С ¹ -гладкой функции z=f(x, у).над областью Dна плоскости ( х, у), то

(2)

Здесь , где a - острый угол между нормалью к поверхности и осью Oz. На основе формул (1), (2) выводятся известные формулы для П. сферы и ее частей, обосновываются приемы для вычисления П. поверхностей вращения и т. п.

Для двумерных кусочно гладких поверхностей в римановых многообразиях [6] формула (1) служит определением П., при этом роль g₁₁, g₁₂, g₂₂ играют составляющие метрич. тензора самой поверхности.

Существенно, что уже в случае двумерной поверхности П. приписывается не множеству точек, а отображению двумерного многообразия в пространство и тем отличается от меры. k-м ерная площадь. Для кусочно гладкого погружения k-мерного многообразия (с краем или без края) в n-мерное евклидово пространство, , П. определяют с помощью конструкции, вполне аналогичной описанной выше для кусочно гладких поверхностей. Разница состоит в том, что проектирование ведется на k-мерные касательные плоскости и суммируются k-мерные объемы проекций. Если в области можно ввести координаты и ¹, . . ., u^k, то площадь F погружения (D, f|_D]выражается интегралом

(3) где g_ij - скалярные произведения . Если k=n-1 и D - область на координатной гиперплоскости (x₁, . . ., x_n-1), а /допускает явное задание х _n=z(x₁, . . ., x_n-1), то формула (3) принимает вид

(4)

Если отображение f гладкое, то g_ij- коэффициенты метрич. тензора, индуцированного погружением, и из (3) следует, что П., определяемая внешней конструкцией, принадлежит внутренней геометрии погруженного многообразия. Иногда равенство (3) принимают за определение П., напр, в случае погружения не в Rⁿ, а в риманово многообразие.

На классе кусочно гладких погруженных многообразий П.: а) неотрицательна; б) равна 1 на k-мерном единичном кубе в ; в) не меняется при ортогональных преобразованиях; г) аддитивна; д) полунепрерывна, т. е. при равномерной сходимости ; е) если есть нерастягивающее отображение, то ; ж) если {Р _i} - набор из попарно ортогональных k-мерных плоскостей и Р _i- проектирование на P_i, то

(5)

Дальнейшие обобщения. Теория площадей. Распространение функции Fна более общие объекты с сохранением хотя бы части их свойств а) - ж) может осуществляться разными путями и вести к разным результатам. Изучение таких обобщений составляет предмет теории П. Обзор соотношений разных понятий П. см. в [10].

Граница между теорией П. и теорией меры довольно условна. По традиции к теории П. относят в первую очередь изучение П. непрерывных отображений, где учитывается кратность и меньшую роль играет сохранение аддитивности. О k-мерных мерах в n-мерном пространстве см., напр., Хаусдорфа мера, Фавара мера.

Ту или иную П. можно вводить на основе аппроксимативного, интегрально геометрического, функционального подхода, либо - аксиоматически. Ниже приведены наиболее распространенные понятия.

Площадь по Лебегу (см. [7], [9]) определяется равенством

(6)

где М - конечно триангулируемое k-мерное многообразие; - всевозможные кусочно линейные отображения; есть k-мерная П. соответствующей полиэдральной поверхности. П. по Лебегу одинакова для эквивалентных по Фреше отображений и потому является характеристикой Фреше поверхности. В случае k=2 условие влечет ряд полезных свойств поверхности (напр., возможность введения изотермич. параметров); в этом случае П. по Лебегу оказалась удобным инструментом, достаточным для решения Плато задачи и более общих двумерных задач вариационного исчисления. При k>2 исследование вариационных задач в классе непрерывных отображений столкнулось с трудностями (в проблеме компактности), что заставило обратиться к поиску других объектов (потоки и вариобразия) и связанных с ними характеристик типа П. Использование П. по Лебегу ограничивается также сложностью, с к-рой устанавливаются ее связи с другими понятиями П. и нек-рые ее свойства (напр., правое из неравенств (5)). Следует отметить две особенности L(M, f): во-первых, при L(M, f)=0 может оказаться, что объем V(f(M))>0; во-вторых, даже при k=2 для разбиения Мна M₁ и M₂ с общей границей в виде кривой может оказаться

(7)

Изучался вопрос о том, в какой мере соблюдение нек-рых из свойств а) - ж) с заменой аддитивности на полуаддитивность, т. е. допущением неравенства типа (7), приводит к П. по Лебегу. Вопросы этого типа исследованы (1983) не до конца (см. [7]).

Интегрально геометрические площади [9]. Пусть N( М,j, у).есть какая-либо функция кратности для отображений в точке , напр. . Тогда для можно образовать интегрально геометрическую П.

(8)

где G(n, k) - Грассмана многообразие k -мерных подпространств , v - нормированная Хаара мера на G(n, k), p_s - ортогональное проектирование на . Для разных функций кратности П. (8) могут различаться. Весьма специальный выбор N( М,j, у).приводит для триангулируемых М к совпадению (8) с П. по Лебегу при k=2, а также при k>0 в случае равенства нулю меры Хаусдорфа H_k+1(f(М)) (см. [9]). Для случая k=2 различные интегрально геометрические П. вводились еще Пеано, Гецем, Банахом (см. [7]).

Площадь границы множества. В связи с доказательством неравенства Брунна - Минковского и классического изопериметрич. неравенства была введена П . по Минковскому. Она приписывается множеству , но характеризует П. его границы и определяется равенством

(9)

где В - единичный шар в , а V - объем. Для множеств Ас кусочно гладкой границей и для выпуклых Ав (9) существует обычный предел, совпадающий с (n-1)-мерной П. границы. Определение (9) сохраняет смысл для множеств в конечномерных нормированных пространствах, где даже для выпуклых Азначение П. (9) может отличаться от меры Хаусдорфа Н _п-1( дА). Другой полезной характеристикой, аналогичной П., к-рая сопоставляется множеству, но характеризует в основном его границу, является периметр измеримого множества. Он является частным случаем понятия массы потока.

Внутренняя площадь. Если Мметризовано и - локально изометрич. отображение, то возникает вопрос о соотношении между L(M, f) и мерой Хаусдорфа H_k(M). Когда М - двумерное многообразие ограниченной кривизны, то L(M, f)=Н ₂ (М). Вообще же непрерывное индуцирует на компонентах связности , обобщенную метрику r, отличающуюся возможностью . Конструкция k-мерной меры Хаусдорфа, примененная к r, дает характеристику, к-рую можно принять за внутреннюю П. погружения. Для липшицевых f она совпадает с L(M, f) (см. [11]).

Массы потоков и вариобразий. Интегрирование k-форм по k-мерному кусочно гладко вложенному в ориентированному многообразию М приводит к потоку - линейному функционалу на k-формах j в . Здесь n - единичный касательный к М k -вектор. Линейный функционал Т _M в существенном характеризует М. Кроме того, определен (на этот раз и при неориентированном М).нелинейный функционал - вариобразие

. Интегральные нормы (массы) ||T_M|| и ||V_M|| совпадают с П., то есть с F(M). Включение класса кусочно гладких подмногообразий пространства в более общие классы потоков и вариобразий играет в вариационном исчислении такую же роль, как обобщенные решения в теории уравнений в частных производных.

Среди всех потоков и вариобразий выделяют широкие классы целочисленных потоков и вариобразий. Последние сохраняют многие геометрич. свойства подмногообразий. Напр., целочисленный поток есть поток, допускающий представление , где n_i - целые числа, a M_i суть С ¹ -гладкие подмногообразия, при условии, что конечна масса (k-1)-мерного потока dT, определяемого равенством dT(j)=Т(dj). Массы целочисленных потоков и вариобразий можно рассматривать как обобщения понятия П. поверхности. И здесь есть связь с П. по Лебегу. Пусть кусочно гладкие отображения равномерно сходятся и . Тогда соответствующие вариобразия слабо сходятся к нек-рому целочисленному вариобразию V_f, причем ||V_f||=L( М, f). Тем самым каждому естественно сопоставляется вариобразие V_f с массой L(M, f); на языке потоков об этом см. в [13].

Лит.:[1] Лебег А., Об измерении величин, пер. с франц., 2 изд., М., 1960; [2] Энциклопедия элементарной математики, т. 5, М., 1966; [3] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971; [4] Лопшиц А. М., Вычисление площадей ориентированных фигур, М., 11)56; [5] IIогорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; [6] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; [7] Сеsаri L., Surface area, Princeton, 1956; [8] Federer H., Geometric measure theory, В.- Hdlb.- N. Y., 1969; [9] Federer H., "Bull. Amer. Math. Soc.", 1952, v. 58, № 3, p. 306-78; [10] Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А., Геометрические неравенства, Л., 1980; [11] Busemann H., "Ann. Math. 2 ser.", 1947, v. 48, p. 234-67; [12] Almgren F. J., The theory of yarifolds, Princeton, 1965; [13] Federer H.,"Trans. Amor. Math. Soc.", 1961 v. 98, № 2, p. 204-33.

Ю. Д. Бурого, В. А. Залгаллер, Л. Д. Кудрявцев.