КОРЕНЬ

- 1) К. степени n из числа a - число n-я степень х ^п к-рого равна а. 2) К. алгебраического уравнения над полем К - элемент к-рый после подстановки его вместо хобращает уравнение в тождество. К. этого уравнения наз. также и К. многочлена

Если сявляется К. многочлена f(х), то f(x).делится без остатка на х-с (см. Безу теорема). Всякий многочлен f(x).с действительными или комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный К. Многочлен f(x). можно записать в виде где с ₁, с ₂, . . . , с _n - К. многочлена f(x). Если среди К. cj, с ₂, . . . , сД многочлена f(x).встречаются равные, то общее их значение наз. кратным корнем.

3) К. из единицы - элемент поля k, удовлетворяющий уравнению х ^т=1 при нек-ром натуральном т. К. из единицы образуют подгруппу в мультипликативной группе поля k. Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля kсостоит из К. из единицы и является циклической. В частности, такова подгруппа U_n всех К. из единицы заданной степени п, содержащихся в алгебраич. замыкании поля k, т. е. всех удовлетворяющих уравнению Если пвзаимно просто с характеристикой поля k(или эта характеристика равна 0), то порядок группы U_n равен пи образующие этой группы наз. первообразными корня м и степени n из единицы. Число таких корней в группе U_n равно значению функции Эйлера j(n), т. е. числу вычетов по модулю га, взаимно простых с n. В поле характеристики р>0 не существует К. из единицы степени р, отличных от 1.

В случае, когда поле kконечно порождено над своим простым подполем, число К. из единицы, содержащихся в k, конечно.

В поле комплексных чисел число z является К. из единицы степени птогда и только тогда, когда |z|=1 и arg с целыми ти и, т. е. когда при этом первообразные К. выделяются условием ( т, n)=1. На комплексной плоскости К. из единицы степени га лежат в вершинах правильного n-угольника, вписанного в единичную окружность, что объясняет связь К. из единицы с задачей о делении круга.

К. из единицы появляются в теории чисел в качестве значений ряда важных теоретико-числовых функций (абелевы числовые характеры, символ Лежандра, функция Мёбиуса, символ норменного вычета и т. д.). В теории полей и алгебраич. теории чисел важную роль играют поля, получаемые присоединением К. из единицы к нек-рому основному полю (см. Круговое поле, Круговое расширение, Куммера расширение).

Лит.:[1] Ван-дер-Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., М., 1976; [2] Л е н г С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. Л. В. Кузьмин.