АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

раздел математики, изучающий геометрич. объекты, связанные с коммутативными кольцами: алгебраические многообразия и их различные обобщения ( схемы, алгебраические пространства и др.).

В "наивной" формулировке предмет А. г. составляет изучение решений алгебраич. уравнений. Геометрич. интуиция появляется, когда все "множество решений" отождествляется с "множеством точек в нек-ром координатном пространстве". Если координаты - действительные числа и пространство имеет размерность два или три, наглядность ситуации несомненна; однако геометрич. язык используется и при более общих обстоятельствах. Этот язык подсказывает задачи, конструкции и типы рассуждений, едва ли естественные с точки зрения чистой алгебры. В свою очередь, алгебра доставляет аппарат гибкий и мощный, равно приспособленный и для превращения правдоподобных рассуждений в доказательства и для формулировки их в наиболее естественном и общем виде.

В А. г. над полем комплексных чисел всякое алгебраич. многообразие является в то же время комплексно-аналитическим, дифференцируемым и топологич. пространством в обычной хаусдорфовой топологии. Это обстоятельство позволяет ввести целый ряд классич. структур, доставляющих такие инварианты алгебраич. многообразий, к-рые лишь с большим трудом или вовсе не удается получить чисто алгебраич. средствами. Понятия и результаты А. г. интенсивно используются в теории чисел (диофантовы уравнения, оценки триго-нометрич. сумм), дифференциальной топологии (особенности и дифференцируемые структуры), теории групп (алгебраич. группы, простые конечные группы, связанные с группами Ли), теории дифференциальных уравнений (K-теория и индекс эллиптич. операторов), теории комплексных пространств, теории категорий (то-посы, абелевы категории), функциональном анализе (теория представлений). В свою очередь, А. г. использует идеи и методы названных дисциплин.

Возникновение А. г. относится к 17 в., когда в геометрию было введено понятие координат. Тем не менее только в сер. 19 в. А. г. начала оформляться в самостоятельную науку. Применение координат в проективной геометрии привело к тому, что алгебраич. методы стали соперничать с синтетич. методами. Однако достижения этой ветви А. г. относятся собственно к проективной геометрии, хотя и оставили в наследство А. г. традицию рассмотрения проективных алгебраич. многообразий. Современная А. г. возникла как теория алгебраических кривых. Исторически первый этап развития теории алгебраич. кривых состоял в выяснении основных понятий и идей этой теории на примере эллиптич. кривых. Комплекс понятий и результатов, к-рый наз. теперь теорией эллиптич. кривых, возник как часть анализа (а не геометрии) - теория интегралов от рациональных функций на эллиптической кривой. Именно эти интегралы и получили первоначально название эллиптических, а потом это название перешло на функции и на кривые (см. Эллиптический интеграл).

В самом конце 17 в. Я. и И. Бернулли (Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli) обнаружили новое интересное свойство эллиптич. интегралов. В их исследованиях рассматривались интегралы, выражающие длины дуг нек-рых кривых. Они нашли преобразования одной кривой в другую, сохраняющие длину дуги кривой, хотя соответствующие дуги не могут быть совмещены друг с другом. Аналитически это приводит к преобразованию одного интеграла в другой. В нек-рых случаях возникают преобразования интеграла в себя. В 1-й пол. 18 в. много примеров таких преобразований нашел Дж. Фаньяно (G. Faniano).

Л. Эйлер (L. Euler) исследовал произвольный многочлен 4-й степени f(х).и поставил вопрос о соотношениях между хи y, при к-рых

Это равенство он рассматривал как дифференциальное уравнение, связывающее хи у. Искомое соотношение является общим интегралом данного уравнения. Причина существования интеграла уравнения (1) и всех его частных случаев, открытых Дж. Фаньяно и Вернулли, - наличие группового закона на эллиптич. кривой с уравнением и инвариантность всюду регулярной дифференциальной формы относительно сдвигов на элементы группы. Найденные Л. Эйлером соотношения, к-рые связывают хи ув (1), могут быть записаны в виде

где означает сложение точек на эллиптической кривой.

Таким образом, эти результаты содержат в себе сразу И групповой закон на эллиптич. кривой, и существование инвариантной дифференциальной формы на этой кривой (см. Эллиптическая кривая).

После Л. Эйлера теория эллиптич. интегралов развивалась в основном А. Лежандром (A. Legendre). Его исследования, начавшиеся в 1786, собраны в трехтомном "Трактате по теории эллиптич. функций и эйлеровых интегралов".

Работы Н. Абеля (N. Abel) по теории эллиптич. функций появились в 1827 - 29. Н. Абель исходил из эллиптич. интеграла

где с и е- комплексные числа, рассматривал его как функцию верхнего предела и ввел обратную функцию и функцию

Обе эти функции имеют в комплексной области два периода

и тем самым отображение определяет униформизацию эллиптич. кривой эллиптич. функциями.

Немного позже Н. Абеля, но независимо от него, К. Якоби (С. Jacobi) также рассмотрел функцию, обратную эллиптич. интегралу, доказал, что она имеет два независимых периода, и получил ряд результатов в проблеме преобразований. Преобразуя в форме рядов найденные Н. Абелем выражения эллиптич. функций в виде произведений, К. Якоби пришел к понятию Q-функций и нашел им многочисленные применения не только в теории эллиптич. функций, но и в теории чисел и в механике.

Занимаясь проблемой преобразований эллиптич. функций, Н. Абель впервые исследовал группу гомоморфизмов одномерных абелевых многообразий.

Наконец, после опубликования наследия К. Гаусса (С. Gauss) и, особенно, его дневника стало ясно, что он задолго до работ Н. Абеля и К. Якоби в той или иной мере владел нек-рыми из этих идей. Переход к изучению произвольных алгебраич. кривых произошел все еще в рамках анализа: Н. Абель показал, как основные свойства эллиптич. интегралов могут быть обобщены на интегралы от произвольных алгебраич. функций. Такие интегралы стали впоследствии наз. абелевыми (см. Абелев интеграл).

В1826 Н. Абель написал работу, к-рая явилась началом общей теории алгебраич. кривых. Эта работа содержит понятие рода алгебраич. кривой, эквивалентности дивизоров и дает критерий эквивалентности в терминах интегралов. Она подводит к теории якобиевых многообразий алгебраич. кривых.

В диссертации, опубликованной в 1851, Б. Риман (В. Riemann) применил совершенно новый принцип исследования функций комплексного переменного. Он предполагал, что такая функция задана не на плоскости комплексного переменного, а на некоторой поверхности, которая "многолистно распростерта" над этой плоскостью.

Поверхности, введенные Б. Риманом (см. Риманова поверхность), близко соответствуют современному понятию одномерного комплексного аналитического многообразия;это - такие множества, на к-рых определены аналитич. функции. Б. Риман поставил и решил вопрос о связи этого понятия с понятием алгебраич. кривой; соответствующий результат наз. теперь теоремой существования Римана. Исследуя возможные расположения точек ветвления поверхностей, он доказал, что множество классов зависит при р> 1 от Зр -3 независимых параметров, к-рые назвал модулями (см. Модулей проблема).

Сработы Б. Римана начинается изучение топологии алгебраич. кривых; в ней выясняется топологич. смысл размерности рпространства - это половина размерности одномерной группы гомологии пространства Х(С). Аналитич. путем получено неравенство Равенство Римана - Роха было доказано Э. Рохом (Е. Roche), учеником Б. Римана (см. Римана - Роха теорема). Наконец, в этой работе впервые выступает поле k(X).как первичный объект, связанный с кривой X, и появляется понятие бирацио-нального изоморфизма. Еще Н. Абелем поставлен вопрос об обращении интегралов от произвольных алгеб-раич. функций. Другая часть работы Б. Римана об абе-левых функциях посвящена связи между 0-функциями и проблемой обращения в общем случае; в ней рассматривается ряд от рпеременных

где пробегает все целочисленные р- мерные векторы,

Этот ряд сходится для всех значений v, если действительная часть квадратичной формы Fотрицательно определена. Основное свойство функции 6 - это уравнение

где - целочисленный вектор, - столбец матрицы - линейная функция.

Б. Риман доказал, что можно выбрать разрезы превращающие введенную им поверхность в односвязную, и базис всюду конечных интегралов на этой поверхности так, что интегралы по равны а интегралы по образуют симметрическую матрицу , удовлетворяющую условиям, при к-рых сходится ряд (2). Он рассмотрел функцию , соответствующую этим коэффициентам Периоды произвольной 2л-периодиче-ской функции от ппеременных удовлетворяют соотношениям, аналогичным тем, к-рые необходимы для сходимости рядов, определяющих -функции. Эти соотношения между периодами были явно выписаны Г. Фро-бениусом (G. Frobenius), к-рый доказал, что они необходимы и достаточны для существования нетривиальных функций, удовлетворяющих функциональному уравнению (3) (см. Тета-функция, Абелева функция). Эти соотношения необходимы и достаточны для существования мероморфной функции с заданными периодами, к-рая не может быть сведена линейной заменой переменных к функции меньшего числа переменных. Эта теорема была сформулирована К. Вейерштрассом (К. Weierstrass) и доказана А. Пуанкаре В 1921 С. Лефшец (S. Lefschetz) доказал, что при выполнении соотношений Фробениуса -функции определяют вложение многообразия в проективное пространство ( - решетка, соответствующая заданной матрице периодов; см. Комплексный тор).

Понятия и результаты, составляющие теперь основу теории алгебраич. кривых, создавались под влиянием и в рамках аналнтич. теории алгебраич. функций и их интегралов. Независимо от этого направления развивалась и чисто геометрия, теория алгебраич. кривых.' Напр., в вышедшей в 1834 книге Ю. Плюккер (J. Pliic-ker) нашел формулы, связывающие класс, степень кривой и число ее двойных точек. Там же он доказал существование девяти точек перегиба у плоской кривой 3-й степени. Но подобного рода исследования занимали второстепенное место в математике того времени, они не были связаны с ее наиболее глубокими идеями.

Только после работ Б. Римана, геометрия алгебраич. кривых заняла важное место в математике наряду с теорией абелевых интегралов и абелевых функций. Это изменение точки зрения связано гл. обр. с работами А. Клебша (A. Clebsch). В то время как у Б. Римана основной являлась функция, А. Клебш считал основным объектом алгебраич. кривую. В книге А. Клебша и П. Гордана [10] выведена формула для числа рлинейно независимых интегралов 1-го рода (т. е. рода кривой X), выражающая его через степень кривой и число особых точек. Там же доказано, что при р = 0 кривая обладает рациональной параметризацией, а при р= 1 преобразуется в плоскую кривую 3-й степени.

Для развития алгебро-геометрич. аспекта теории алгебраич. кривых полезной оказалась одна ошибка Б. Римана. При доказательстве своих теорем существования он считал очевидной разрешимость нек-рой вариационной задачи: "принципа Дирихле". Вскоре К. Вей-ерштрасс показал, что не любая вариационная задача имеет решение. Поэтому нек-рое время результаты Б. Римана оставались необоснованными. Один из выходов заключался в алгебраич. доказательстве этих теорем - формулировка их была, по существу, алгебраической. Эти исследования, предпринятые А. Клеб-шем, в значительной мере способствовали выяснению алгебро-геометрич. характера результатов Н. Абеля и Б. Римана, скрытого под аналитич. оболочкой.

Направление исследований, начатое А. Клебшем, достигло своего расцвета в работах его ученика - М. Нётера (М. Noether). Круг идей М. Нётера особенно ясно, намечен в его совместной работе с А. Бриллем (A. Brill). В ней ставится задача развить геометрию на алгебраич. кривой, лежащей в проективной плоскости, как совокупность результатов, инвариантных относительно взаимно однозначных (т. е. бирациональных) преобразований (см. Бирационалъная геометрия).

К началу 2-й пол. 19 в. было найдено много специальных свойств алгебраич. многообразий размерности большей, чем 1, в основном поверхностей. Напр., были детально исследованы поверхности 3-й степени, и, в частности, Дж. Сальмон (G. Salmon) и А. Кэли (A. Cay-ley) доказали в 1849, что на любой кубич. поверхности без особых точек лежит 27 различных прямых. Однако эти результаты долго не объединялись к.-л. общими принципами и не были связаны с глубокими идеями, выработанными к тому времени в теории алгебраич. кривых.

Итальянская школа А. г. оказала большое влияние на развитие этой науки. Основателями итальянской геометрич. школы являются Л. Кремона (L. Cremona), К. Сегре (С. Segre), Э. Бертини (Е. Bertini). Ее самые значительные представители - Г. Кастельнуово (G. Castelnuovo), Ф. Энрикес (F. Enriques) и Ф. Севе-ри (F. Severi). Одно из основных достижений итальянской школы - классификация алгебраических поверхностей. Первым результатом здесь можно считать работу Э. Бертини 1877, в к-рой дана классификация инволютивных преобразований плоскости, т. е. (в современной терминологии) классификация с точностью до сопряженности в группе бирациональных автоморфизмов плоскости всех элементов 2-го порядка этой группы. Классификация оказывается очень простой, и из нее, в частности, легко вывести, что факторплоскость по группе 2-го порядка является рациональной поверхностью. Иначе говоря, если поверхность Xунирацио-нальна и морфизм f : Р ² ЮХимеет степень 2, то Xрациональна. Общий случай Люрота проблема для алгебраич. поверхностей решил (положительно) Г. Кастельнуово в 1893. Он же поставил и решил вопрос о характеристике рациональных поверхностей численными инвариантами. Классификация поверхностей была получена Ф. Энрикесом в серии работ, завершившейся уже в 10-х гг. 20 в.

Основным средством итальянской школы было исследование семейств кривых на поверхности - линейных и алгебраических (последние называли непрерывными). Это привело к понятию линейной и алгебраич.

эквивалентности. Связь этих понятий впервые исследовал Г. Кастельнуово. Важный вклад в дальнейшую разработку вопроса внес Ф. Северн. Хотя значительная часть понятий возникла в аналитич. форме, их алгебраич. смысл был со временем выяснен. Существует тем не менее ряд понятий и результатов, к-рые, по существу (по крайней мере с современной точки зрения), связаны с анализом.

В самом начале 80-х гг. 19 в. появились работы Ф. Клейна (F. Klein) и А. Пуанкаре (Н. Poincare), посвященные проблеме униформизации алгебраич. кривых автоморфнымн функциями. Их цель заключалась в том, чтобы аналогично тому, как эллиптич. функции униформизируют кривые рода 1, униформизировать любые кривые функциями, к-рые теперь наз. автоморфными. Ф. Клейн исходил при этом из теории модулярных функций. Поле модулярных функций изоморфно полю рациональных функций, но можно рассматривать функции, инвариантные относительно различных подгрупп модулярной группы, и получать таким способом более сложные поля. В частности, Ф. Клейн рассмотрел функции, автоморфные относительно группы, состоящей из всех преобразований в к-рых, - целые числа, и

Он показал, что эти функции униформизируют кривую рода 3 с уравнением Можно деформировать фундаментальный многоугольник этой группы и получать таким путем новые группы, к-рые будут униформизировать кривые рода 3. Подобный ход мыслей лежал в основе работ Ф. Клейна и А. Пуанкаре, причем А. Пуанкаре пользовался для построения автоморфных функций рядами, к-рые носят ныне его имя. Оба они правильно угадали, что любая алгебраич. кривая допускает униформизацию соответствующей группой, и значительно продвинулись в направлении доказательства этого результата. Полное доказательство было получено только в 1907 А. Пуанкаре и независимо от него П. Кебе (P. Koebe). При этом большую роль сыграло то, что к тому времени в работах А. Пуанкаре было исследовано понятие фундаментальной группы и универсальной накрывающей.

Топология алгебраич. кривых очень проста и была полностью исследована Б. Риманом. Для изучения топологии алгебраич. поверхностей 0. Пикар (Е. Picard) развил метод, основанный на изучении слоев морфизма Он исследовал, как меняется топология слоя при изменении точки и, в частности, когда этот слой приобретает особую точку. Таким способом, напр., была доказана односвязность гладких поверхностей в (см. [11], т. 1). Важный вклад в топологию алгебраич. поверхностей внес также А. Пуанкаре.

В 1921 С. Лефшец (S. Lefschetz) начал применять новую науку - топологию - к изучению алгебраич. многообразий над полем комплексных чисел. Его первоначальной целью было упрощение результатов Э. Пикара и А. Пуанкаре и обобщение их на многомерный случай. Однако он сделал значительно больше и его работы открыли новую область исследований в А. г. Дальнейший вклад С. Лефшеца в А. г. относится к теории алгебраич. циклов на алгебраич. многообразиях. Он доказал, что двумерный цикл на алгебраич. поверхности гомологичен циклу, представляемому алгебраич. кривой, в том, и только том случае, когда регулярные двойные интегралы имеют нулевые периоды на нем.

Исследования С. Лефшеца заложили основу современной теории комплексных многообразий. Позднее были введены мощные средства для их изучения, среди к-рых - теория гармонич. интегралов [У. Ходж (W. Hodge), Ж. де Рам (G. de Rham)] и теория пучков [А. Картан (Н. Cartan), Ж. Лере (J. Leray)]. Используя эту технику, удалось показать, что неособые алгебраич. многообразия составляют часть важного класса комплексных многообразий - кэлеровых многообразий.

Теория пучков и связанная с ней теория векторных расслоений на комплексных многообразиях позволили дать новую интерпретацию и значительно обобщить многие классич. инварианты алгебраич. поверхностей (арифметич. и геометрич. род, канонич. системы). Одним из важнейших достижений этой теории было создание теории Чжэня классов и значительного обобщения классич. теоремы Римана - Роха (Ф. Хирце-брух [7]).

К сер. 20 в. А. г. подверглась значительной переработке на теоретико-множественной и аксиоматич. основе. Область применения А. г. необычайно расширилась в сторону комплексных многообразий и в сторону алгебраич. многообразий над произвольными полями. Интерес к А. г. над "неклассическими" полями возник сначала в связи с теорией сравнений, к-рые можно интерпретировать как уравнения над конечным полем. В своем докладе на Международном конгрессе математиков в 1908 А. Пуанкаре говорил, что к изучению сравнений от двух неизвестных можно применить методы теории алгебраич. кривых. Почва для систематич. поостроения А. г. была подготовлена общим развитием теории полей и колец в 10 - 20-х гг. 20 в.

Попытка доказательства Римана гипотезы (к-рую можно сформулировать для любой алгебраич. кривой над конечным полем) привела в 30-х гг. в работах X. Хассе (Н. Hasse) и его учеников к построению теории алгебраич. кривых над произвольным полем. При этом сама гипотеза была доказана X. Хассе для эллиптич. кривых. С другой стороны, в серии статей, опубликованных в 1931 - 39, В. Л. ван дер Варден (В. L. van der Waerden) продвинулся в построении А. г. над произвольным полем. В частности, им была построена теория пересечений на гладком проективном многообразии.

В 1940 А. Вейлю (A. Weil) удалось доказать гипотезу Римана для произвольной алгебраич. кривой над конечным полем. Он нашел два пути ее доказательства. Один из них основывается на теории соответствий кривой X(т. е. дивизоров на поверхности Xх X), а другой - на рассмотрении ее якобиева многообразия. Таким образом, в обоих случаях привлекаются многомерные многообразия. В связи с этим в книге А. Вейля [5] содержится построение А. г. над произвольным полем: теория дивизоров, циклов, пересечений. Здесь впервые определяются "абстрактные" (не обязательно квазипроективные) многообразия путем процесса склеивания аффинных кусков. Работами О. Зариского (О. Zariski), П. Самюэля (P. Samuel), К. Шевалле (С. Chevalley) и Ж. П. Серра (J . P. Serre) были введены в А. г. в нач. 50-х гг. 20 в. мощные методы коммутативной и, в частности, локальной алгебры.

Определение многообразий, основанное на понятии пучка, было дано Ж. П. Серром. Он же построил и теорию когерентных алгебраических пучков, причем прообразом ее служила незадолго до того созданная теория когерентных аналитических пучков.

В конце 50-х гг. 20 в. А. г. подвергается кардинальной перестройке, предпринятой А. Гротендиком (A. Grothendieck) на основе понятия схемы. Используя язык теории категорий, А. Гротендику удалось значительно обобщить и прояснить многие важные классич. конструкции в А. г., абстрактное определение к-рых было ранее мало геометрично. Им же было основано много новых важных разделов А. г. (см. Алгебраическая геометрия абстрактная). Язык теории схем прочно вошел в обиход современной А. г., органически слил ее с коммутативной алгеброй и принес в исследования арифметич. вопросов алгебраич. многообразий значительный прогресс (см. Алгебраических многообразий арифметика). Непосредственное влияние теория схем оказала на одно из важнейших достижений А. г. за последний период - решение проблемы существования неособой бирациональной модели алгебраич. многообразий, определенных над полем характеристики нуль (см. Разрешение особенностей).