Сходимость это:

Сходимость
        математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает, например, когда при изучении того или иного математического объекта строится последовательность более простых в известном смысле объектов, приближающихся к данному, то есть имеющих его своим пределом (так, для вычисления длины окружности используется последовательность длин периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность; для вычисления значений функций используются последовательности частичных сумм рядов, которыми представляются данные функции, и т. п.).
         С. последовательности {an}, n = 1, 2,..., означает существование у неё конечного предела k=1uk конечного предела (называемого суммой ряда) у последовательности его частичных сумм b1 b2... bn — конечного предела, не равного нулю, у последовательности конечных произведений pn = b1b2... bn, n = 1, 2,...; С. интеграла f (x), интегрируемой по любому конечному отрезку [а, b],— конечного предела у интегралов при b → +∝, называется несобственным интегралом (См. Несобственные интегралы)
         Свойство С. тех или иных математических объектов играет существенную роль как в вопросах теории, так и в приложениях математики. Например, часто используется представление каких-либо величин или функций с помощью сходящихся рядов; так, для основания натуральных логарифмов е имеется разложение его в сходящийся ряд
        
         для функции sin х — в сходящийся при всех х ряд
        Подобные ряды могут быть использованы для приближённого вычисления рассматриваемых величин и функций. Для этого достаточно взять сумму нескольких первых членов, при этом чем больше их взять, тем с большей точностью будет получено нужное значение. Для одних и тех же величин и функций имеются различные ряды, суммой которых они являются, например,
        Подобные ряды могут быть использованы для приближённого вычисления рассматриваемых величин и функций. Для этого достаточно взять сумму нескольких первых членов, при этом чем больше их взять, тем с большей точностью будет получено нужное значение. Для одних и тех же величин и функций имеются различные ряды, суммой которых они являются, например,
        ,
        ,
        .
        .
        При практических вычислениях в целях экономии числа операций (а следовательно, экономии времени и уменьшения накопления ошибок) целесообразно из имеющихся рядов выбрать ряд, который сходится «более быстро». Если даны два сходящихся ряда ∑k=1uk и . — их остатки, то 1-й ряд называется сходящимся быстрее 2-го ряда, если
        .
        .
         Например, ряд
        сходится быстрее ряда
        сходится быстрее ряда
        .
        .
        Используются и другие понятия «более быстро» сходящихся рядов. Существуют различные методы улучшения С. рядов, то есть методы, позволяющие преобразовать данный ряд в «более быстро» сходящийся. Аналогично случаю рядов вводится понятие «более быстрой» С. и для несобственных интегралов, для которых также имеются способы улучшения их С.
         Большую роль понятие С. играет при решении всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных), в частности при нахождении их численных приближённых решений. Например, с помощью последовательных приближений метода (См. Последовательных приближении метод) можно получить последовательность функций, сходящихся к соответствующему решению данного обыкновенного дифференциального уравнения, и тем самым одновременно доказать существование при определённых условиях решения и дать метод, позволяющий вычислить это решение с нужной точностью. Как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений с частными производными существует хорошо разработанная теория различных сходящихся конечноразностных методов их численного решения (см. Сеток метод). Для практического нахождения приближённых решений уравнений широко используются ЭВМ.
         Если изображать члены an последовательности {an} на числовой прямой, то С. этой последовательности к а означает, что расстояние между точками an и а становится и остаётся сколь угодно малым с возрастанием n. В этой формулировке понятие С. обобщается на последовательности точек плоскости, пространства и более общих объектов, для которых может быть определено понятие расстояния, обладающее обычными свойствами расстояния между точками пространства (например, на последовательности векторов, матриц, функций, геометрических фигур и т. д., см. Метрическое пространство). Если последовательность {an} сходится к а, то вне любой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов последовательности. В этой формулировке понятие С. допускает обобщение на совокупности величин ещё более общей природы, в которых тем или иным образом введено понятие окрестности (см. Топологическое пространство).
         В математическом анализе используются различные виды С. последовательности функций {fn (x)} к функции f (x) (на некотором множестве М). Если X0 (из М), то говорят о С. в каждой точке [если это равенство не имеет места лишь для точек, образующих множество меры нуль (см. Мера множества), то говорят о С. почти всюду]. Несмотря на свою естественность, понятие С. в каждой точке обладает многими нежелательными особенностями [например, последовательность непрерывных функций может сходиться в каждой точке к разрывной функции; из С. функций fn (x) к f (x) в каждой точке не следует, вообще говоря, С. интегралов от функций fn (x) к интегралу от f (x) и т. д.]. В связи с этим было введено понятие равномерной С., свободное от этих недостатков: последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к f (x) на множестве М, если
        
        Этот вид С. соответствует определению расстояния между функциями f (x) и (х) по формуле
        
        Д. Ф. Егоров доказал, что если последовательность измеримых функций сходится почти всюду на множестве М, то из М можно так удалить часть сколь угодно малой меры, чтобы на оставшейся части имела место равномерная С.
         В теории интегральных уравнений, ортогональных рядов и т. д. широко применяется понятие средней квадратической С.: последовательность {fn (x)} сходится на отрезке [a, b] в среднем квадратическом к f (x), если
        .
        .
        Более общо, последовательность {fn (x)} сходится в среднем с показателем р к f (x), если
        .
        .
        Эта С. соответствует заданию расстояния между функциями по формуле
        .
        .
        Из равномерной С. на конечном отрезке вытекает С. в среднем с любым показателем р. Последовательность частичных сумм разложения функции φ(х) с интегрируемым квадратом по нормированной ортогональной системе функций (См. Ортогональная система функций) может расходиться в каждой точке, но такая последовательность всегда сходится к φ(х) в среднем квадратическом. Рассматриваются также другие виды С. Например, С. по мере: для любого ε > 0 мера множества тех точек, для которых , стремится к нулю с возрастанием n', слабая С.:
        
        для любой функции φ(x) с интегрируемым квадратом (например, последовательность функций sinx, sin2x,..., sinnx,... слабо сходится к нулю на отрезке [—π, π], так как для любой функции φ(х) с интегрируемым квадратом коэффициенты ряда Фурье стремятся к нулю).
         Указанные выше и многие другие понятия С. последовательности функций систематически изучаются в функциональном анализе, где рассматриваются различные линейные пространства с заданной нормой (расстоянием до нуля) — так называемые банаховы пространства. В таких пространствах можно ввести понятия С. функционалов, операторов и т. д., определяя для них соответствующим образом норму. Наряду со С. по норме (так называемой сильной С.), в банаховых пространствах рассматривается слабая С., определяемая условием Упорядоченные и частично упорядоченные множества). В теории вероятностей для последовательности случайных величин употребляются понятия С. с вероятностью 1 и С. по вероятности.
         Ещё математики древности (Евклид, Архимед) по существу употребляли бесконечные ряды для нахождения площадей и объёмов. Доказательством С. рядов им служили вполне строгие рассуждения по схеме Исчерпывания метода. Термин «С.» в применении к рядам был введён в 1668 Дж. Грегори при исследовании некоторых способов вычисления площади круга и гиперболического сектора. Математики 17 в. обычно имели ясное представление о С. употребляемых ими рядов, хотя и не проводили строгих с современной точки зрения доказательств С. В 18 в. широко распространилось употребление в анализе заведомо расходящихся рядов (в частности, их широко применял Л. Эйлер). Это, с одной стороны, привело впоследствии ко многим недоразумениям и ошибкам, устранённым лишь с развитием отчётливой теории С., а с другой — предвосхитило современную теорию суммирования (См. Суммирование) расходящихся рядов. Строгие методы исследования С. рядов были разработаны в 19 в. (О. Коши, Н. Абель, К. Вейерштрасс, Б. Больцано и др.). Понятие равномерной С. было введено Дж. Стоксом. Дальнейшие расширения понятия С. были связаны с развитием теории функций, функционального анализа и топологии.
         Лит.: Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1—2, М., 1971—73; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1—2, М., 1970; Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1—2, М., 1973.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Синонимы:

Смотреть что такое "Сходимость" в других словарях:

  • сходимость — конвергенция; конвергентность. Ant. расходимость, дивергенция Словарь русских синонимов. сходимость сущ., кол во синонимов: 1 • конвергентность (2) …   Словарь синонимов

  • СХОДИМОСТЬ — понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел …   Большой Энциклопедический словарь

  • СХОДИМОСТЬ — СХОДИМОСТЬ, в математике свойство бесконечного ряда (или последовательности), имеющего единственный и конечный предел. Так, для ряда 1 + 1/2 + 1/22 + 1/23 +... сумма первых двух членов равна 1,5, первых трех 1,75, первых четырех 1,875; по мере… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Сходимость — В математике Сходимость означает то, что бесконечная последовательность или сумма бесконечного ряда или несобственный интеграл имеют предел. Понятия имеют смысл для произвольных последовательностей, рядов и интегралов: Предел последовательности… …   Википедия

  • сходимость — 3.6 сходимость (repeatability): Близость результатов двух испытаний, полученных одним методом, в идентичных условиях, водной лаборатории. Источник …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • СХОДИМОСТЬ — одно из основных понятий математич. анализа, означающее, что нек рый математич. объект имеет предел. В этом смысле говорят о С. последовательности каких либо элементов, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. цепной дроби, С. интеграла и т. п.… …   Математическая энциклопедия

  • сходимость — понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел. * * * СХОДИМОСТЬ СХОДИМОСТЬ, понятие математического анализа, означающее, что некоторая последовательность имеет предел …   Энциклопедический словарь

  • сходимость — glaustis statusas T sritis radioelektronika atitikmenys: angl. convergence vok. Konvergenz, f rus. сходимость, f pranc. convergence, f …   Radioelektronikos terminų žodynas

  • сходимость — rezultatų glaudumas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Nepriklausomų tyrimo rezultatų, gautų tomis pačiomis sąlygomis, artumas. atitikmenys: angl. precision vok. Wiederholbarkeit von Messungen, f rus. сходимость, f pranc …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • сходимость — rezultatų glaudumas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Rezultatų, gautų apibrėžtomis sąlygomis keletą kartų bandant tuo pačiu metodu ir tas pačias medžiagas, atitikimo artumas. atitikmenys: angl. precision vok.… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • сходимость — preciziškumas statusas T sritis chemija apibrėžtis Tomis pačiomis sąlygomis gautų nepriklausomų tyrimo rezultatų artumas. atitikmenys: angl. precision rus. сходимость ryšiai: sinonimas – glaudumas …   Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Книги

Другие книги по запросу «Сходимость» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»