Несобственные интегралы это:

Несобственные интегралы
        обобщение классического понятия интеграла на случай неограниченных функций и функций, заданных на бесконечном промежутке интегрирования (см. Интеграл). Определённый интеграл как предел интегральных сумм Римана может существовать (иметь определённое конечное значение) лишь для ограниченных функций, заданных на конечном интервале. Поэтому, если интервал интегрирования или подынтегральная функция не ограничены, для определения интеграла требуется ещё один предельный переход: получающиеся при этом интегралы называются несобственными интегралами.
         Если функция f (x) интегрируема на любом конечном отрезке [a, N] и если существует
        
        то его называют Н. п. функции f (x) на интервале [а, ∞] и обозначают
         В этом случае говорят, что Н. и. сходится. Когда этот предел, а значит и Н. и., не существует, то иногда говорят, что Н. и. расходится. Например,
         В этом случае говорят, что Н. и. сходится. Когда этот предел, а значит и Н. и., не существует, то иногда говорят, что Н. и. расходится. Например,
         сходится при γ > 1 и расходится при γ ≤ 1. Аналогично определяют Н. и. на интервалах
        сходится при γ > 1 и расходится при γ ≤ 1. Аналогично определяют Н. и. на интервалах
         [—∞, b] и [—∞, ∞].
         Если функция f (x), заданная на отрезке [a, b], не ограничена в окрестности точки a, но интегрируема на любом отрезке [а + ε, b], 0 < ε < b - a и если существует
        
        то его называют Н. и. функции f (x) на [а, b] и записывают обычным образом:
        
         Аналогично поступают, если f (x) не ограничена в окрестности точки b.
         Если существует Н. и.
         или
        или
         то говорят, что Н. и.
        то говорят, что Н. и.
         или
        или
         абсолютно сходится: если же последние интегралы сходятся (но первые расходятся), то Н. и.
        абсолютно сходится: если же последние интегралы сходятся (но первые расходятся), то Н. и.
         или
        или
         называются условно сходящимися.
        называются условно сходящимися.
         Задачи, приводящие к Н. и., рассматривались в геометрической форме Э. Торричелли и П. Ферма в 1644. Точные определения Н. и. даны О. Коши в 1823. Различие условно и абсолютно сходящихся Н. и. установлено Дж. Стоксом и П. Г. Л. Дирихле (1854). Ряд работ математиков 19 в. посвящен вычислению Н. и. в случаях, когда соответствующая первообразная не выражается через элементарные функции. Основными приемами вычисления Н. и. являются дифференцирование и интегрирование по параметру, разложение в ряды, применение теории вычетов. Значения многих Н. и. приводятся в различных таблицах.
         Н. и. имеют важное значение во многих областях математического анализа и его приложений. В теории специальных функций (цилиндрических функций, ортогональных многочленов и др.) одним из основных способов изучения является изображение функций в виде Н. и., зависящих от параметра, например
        
        (см. Гамма-функция). К Н. и. относится и Фурье интеграл, а также интегралы, встречающиеся при др. интегральных преобразованиях. Решения краевых задач (См. Краевые задачи) математической физики записываются кратными Н. и. с неограниченной подинтегральной функцией. В теории вероятностей важное значение имеет Н. и.
         в теории диффракции света — Н. и.
        в теории диффракции света — Н. и.
        
         В ряде случаев расходящимся Н. и. можно приписать определённое значение (см. Суммирование). В частности, если интеграл
         расходится, но существует
        расходится, но существует
        
        то А называется главным значением Н. и. и обозначают
        
         Так,
        
         Аналогично вводится главное значение Н. и. от неограниченных функций. В работах Н. И. Мусхелишвили и его учеников построена теория интегральных уравнений, содержащих Н. и., понимаемые в смысле главного значения.
         Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 20 изд., т. 2, М. — Л., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд. т. 2, М., 1969; Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, М., 1970.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Несобственные интегралы" в других словарях:

  • Несобственные интегралы — Содержание 1 Определение 2 Критерий Коши 3 Абсолютная сходимость 4 См. также // …   Википедия

  • Расходящиеся интегралы —         интегралы с бесконечными пределами, а также с неограниченной подынтегральной функцией, равные бесконечности или же не имеющие определённого конечного значения. Например, интеграл Несобственные интегралы, Интеграл, Суммирование… …   Большая советская энциклопедия

  • Френеля интегралы —         интегралы вида                  и                  введённые О. Ж. Френелем (См. Френель) при решении задач дифракции света (См. Дифракция света). Несобственные Ф. и. равны S (∞) = С (∞) = 1/2. Таблицы Ф. и. приводятся во многих… …   Большая советская энциклопедия

  • Несобственный интеграл — Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].… …   Википедия

  • Интегральное исчисление —         раздел математики, в котором изучаются свойства и способы вычисления интегралов и их приложения. И. и. тесно связано с дифференциальным исчислением (См. Дифференциальное исчисление) и составляет вместе с ним одну из основных частей… …   Большая советская энциклопедия

  • МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — часть математики, в к рой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что М. а. изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых.… …   Математическая энциклопедия

  • Интеграл — (от лат. integer целый)         одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости… …   Большая советская энциклопедия

  • Фурье интеграл —         формула для разложения непериодической функции на гармонические компоненты, частоты которых пробегают непрерывную совокупность значений. Если функция f (x) удовлетворяет на каждом конечном отрезке условию Дирихле (см. Фурье ряд) и если… …   Большая советская энциклопедия

  • Сингулярный интеграл —         1) одно из средств представления функций; под С. и. понимают интеграл вида                  ,          который при n → ∞ сходится (при тех или иных ограничениях на функцию f) к порождающей его функции f (х); функция Kn (x, t) называется… …   Большая советская энциклопедия

  • Сходимость —         математическое понятие, означающее, что некоторая переменная величина имеет Предел. В этом смысле говорят о С. последовательности, С. ряда, С. бесконечного произведения, С. непрерывной дроби, С. интеграла и т. д. Понятие С. возникает,… …   Большая советская энциклопедия

Книги

Другие книги по запросу «Несобственные интегралы» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»