Ортогональная система функций это:

Ортогональная система функций
        система функций {(φn (x)}, n = 1, 2,..., ортогональных с весом ρ (х) на отрезке [а, b], т. е. таких, что
        
         Примеры. Тригонометрическая система 1, cos nx, sin nx; n = 1, 2,..., — О. с. ф. с весом 1 на отрезке [—π, π]. Бесселя функции n = 1, 2,..., Jν(x), образуют для каждого ν > — 1/2 О. с. ф. с весом х на отрезке [0, l ].
         Если каждая функция φ (х) из О. с. ф. такова, что х) на число
         Систематическое изучение О. с. ф. было начато в связи с методом Фурье решения краевых задач уравнений математической физики. Этот метод приводит, например, к разысканию решений Штурма — Лиувилля задачи (См. Штурма - Лиувилля задача) для уравнения [ρ(х) у' ]' + q (x) y = λу, удовлетворяющих граничным условиям у (а) + hy'(a) = 0, y (b) + Hy' (b) = 0, где h и Н — постоянные. Эти решения — т. н. собственные функции задачи — образуют О. с. ф. с весом ρ (х) на отрезке [a, b ].
         Чрезвычайно важный класс О. с. ф. — Ортогональные многочлены — был открыт П. Л. Чебышевым в его исследованиях по интерполированию способом наименьших квадратов и проблеме моментов. В 20 в. исследования по О. с. ф. проводятся в основном на базе теории интеграла и меры Лебега. Это способствовало выделению этих исследований в самостоятельный раздел математики. Одна из основных задач теории О. с. ф.— задача о разложении функции f (x) в ряд вида п (х)} — О. с. ф. Если положить формально п (х)} — нормированная О. с. ф., и допустить возможность почленного интегрирования, то, умножая этот ряд на φп (х) ρ(х) и интегрируя от а до b, получим:
        
        Коэффициенты Сп , называемые коэффициентами Фурье функции относительно системы {φn (x)}, обладают следующим экстремальным свойством: линейная форма х):
        (*)
         (*)
        имеет наименьшее значение по сравнению с ошибками, даваемыми при том же n другими линейными выражениями вида
        
         Ряд ∑n=1Cnφn(x) с коэффициентами Сп , вычисленными по формуле (*), называется рядом Фурье функции f (x) по нормированной О. с. ф. {φn (x)}. Для приложений первостепенную важность имеет вопрос, определяется ли однозначно функция f (x) своими коэффициентами Фурье. О. с. ф., для которых это имеет место, называется полными, или замкнутыми. Условия замкнутости О. с. ф. могут быть даны в нескольких эквивалентных формах. 1) Любая непрерывная функция f (x) может быть с любой степенью точности приближена в среднем линейными комбинациями функций φk (x), то есть n=1Cnφn(x) сходится в среднем к функции f (x)]. 2) Для всякой функции f (x), квадрат которой интегрируем относительно веса ρ(х), выполняется условие замкнутости Ляпунова — Стеклова:
        
        3) Не существует отличной от нуля функции с интегрируемым на отрезке [a, b ] квадратом, ортогональной ко всем функциям φn (x), n = 1, 2,....
         Если рассматривать функции с интегрируемым квадратом как элементы гильбертова пространства (См. Гильбертово пространство), то нормированные О. с. ф. будут системами координатных ортов этого пространства, а разложение в ряд по нормированным О. с. ф. — разложением вектора по ортам. При этом подходе многие понятия теории нормированных О. с. ф. приобретают наглядный геометрический смысл. Например, формула (*) означает, что проекция вектора на орт равна скалярному произведению вектора и орта; равенство Ляпунова — Стеклова может быть истолковано как теорема Пифагора для бесконечномерного пространства: квадрат длины вектора равен сумме квадратов его проекций на оси координат; замкнутость О. с. ф. означает, что наименьшее замкнутое подпространство, содержащее все векторы этой системы, совпадает со всем пространством и т.д.
         Лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье, 2 изд., М., 1960; Натансон И. П., Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949; его же, Теория функций вещественной переменной, 2 изд., М., 1957; Джексон Д., Ряды Фурье и ортогональные полиномы, пер. с англ., М., 1948; Качмаж С., Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. 1969—1978.

Смотреть что такое "Ортогональная система функций" в других словарях:

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — (отгреч. orthogonios прямоугольный) конечная или счётная система ф ций , принадлежащих (сепара бельному) гильбертову пространству L2(a,b )(квадратично интегрируемых ф ций) и удовлетворяющих условиям Ф ция g(x )наз. весом О. с. ф.,* означает… …   Физическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — система функций ??n(х)?, n=1, 2,..., заданных на отрезке ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ линейное преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее неизменными длины или (что эквивалентно этому) скалярные произведения векторов …   Большой Энциклопедический словарь

  • ортогональная система функций — система функций {φn(х)}, n = 1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих следующему условию ортогональности: при k≠l, где ρ(х)  некоторая функция, называемая весом. Например, тригонометрическая система 1, sin х, cos х, sin 2х,… …   Энциклопедический словарь

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ — система ф ций {(фn(х)}, п=1, 2, ..., заданных на отрезке [а, b] и удовлетворяющих след, условию ортогональности при k не равно l, где р(х) нек рая ф ция, наз. весом. Напр., тригонометрич. система 1, sin х, cosх, sin 2х, cos 2x,... О.с.ф. с весом… …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА — 1) О …   Математическая энциклопедия

  • Полная система функций —         такая система функций Ф = {φ(x:)}, определённых на отрезке [a, b], что не существует функции f (x), для которой, х) из Ф, т. е. для которой                  при любой функции φ(х) из Ф (интегралы понимаются в смысле Лебега, см. Интеграл) …   Большая советская энциклопедия

  • система — 4.48 система (system): Комбинация взаимодействующих элементов, организованных для достижения одной или нескольких поставленных целей. Примечание 1 Система может рассматриваться как продукт или предоставляемые им услуги. Примечание 2 На практике… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • ПОЛНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИИ — см. в ст. Ортогональная система функций. Физическая энциклопедия. В 5 ти томах. М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988 …   Физическая энциклопедия

  • ОРТОНОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА — 1) О. с. векторов множество ненулевых векторов евклидова (гильбертова) пространства со скалярным произведением (. , .) такое, что при (ортогональность) и (нормируемость). М. И. Войцеховский. 2) О. с. ф у н к ц и и система функций пространства… …   Математическая энциклопедия

  • ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ — построение для заданной системы функций {fn (х)}, интегрируемых с квадратом на отрезке [ а, Ъ]функций ортогональной системы {jn(x)} путем применения нек рого процесса ортогонализации или же путем продолжения функций fn(x).на более длинный… …   Математическая энциклопедия

Книги



Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»